Espace vectoriel et extension de corps

supp

Bonjour,

Il semblerait que la réponse soit non, si on prend 3 corps finis $K \subset K' \subset L$ avec des inclusions strictes alors $K'$ est un $K$ espace vectoriel mais ne peut pas être muni d'un structure de $L$ espace vectoriel, en effet s'il existait une telle structure on aurait $K = 0$ (ce qui est exclu) ou bien on disposerait d'une application linéaire injective $L \to K$ ce qui est impossible en considérant les cardinaux.

edit : l'application linéaire injective est $L \to K'$ et non $L \to K$

@maxtimax je voulais dire de $L \to K'$ il y'a une coquille, comme j'ai pris des corps finis ça marche on considérant les cardinaux non ?

@viko : ah je n'avais pas lu "fini". Dans ce cas oui, mais tu n'as pas besoin de cette hypothèse de toute façon.

@PolVano : Attention, "on n'a pas stabilité par multiplication de scalaires" n'est pas la bonne justification : peut-être que la multiplication de scalaires est définie de manière un peu plus compliquée pour des scalaires venant de $\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$. Par contre, tu as donné la justification dans ta réponse d'après (est-ce que $1=2n $ pour un certain $n$ ? ). Peux-tu montrer une sorte de réciproque à ton calcul de dimension ? (ce qui répondra à ta question pour un "théorème général")

PolVano : bah pourquoi est-ce que $\lambda\cdot x$ serait forcément défini comme la multiplication usuelle ? Je te donne un exemple, un peu idiot, mais qui montre ce que je veux dire : je définis, sur $\mathbb{R}^2$, la multiplication par un scalaire complexe de la manière suivante : $\lambda\cdot (x,y) = (Re(\lambda)x - Im(\lambda)y, Re(\lambda)y + Im(\lambda) x)$. Vérifie que ça vérifie bien les axiomes d'espace vectoriel complexe, qui de plus concorde avec la structure d'espace vectoriel réel : si $\lambda\in\mathbb{R}$, ça fait $(\lambda x, \lambda y)$

C'est un peu idiot, parce que ce que j'ai fait c'est identifier $\mathbb{R}^2$ à $\mathbb{C}$ via $(x,y) \mapsto x+iy$ et donc en réalité ce n'est "que" la multiplication complexe.
Maintenant observe que si je définis $\lambda \cdot (x,y) = ( Re(\lambda)x + Im(\lambda) y,Re(\lambda)y - Im(\lambda)x)$ j'obtiens aussi une structure d'espace vectoriel complexe, qui est distincte de la précédente, mais qui pourtant coïncide sur les nombres réels

(C'est toujours idiot, mais un peu moins : j'ai identifié $\mathbb{R}^2$ à $\mathbb{C}$ via $(x,y)\mapsto ix+y$ et j'ai mis la multiplication complexe)
La morale c'est que même si tu as une opération réelle qui est déjà définie, et une opération complexe "naturelle", il peut y en avoir d'autres ! En particulier, dire "si il y avait une structure d'ev complexe sur $\mathbb{R}$ qui coïncide avec la structure réelle, ce serait la multiplication complexe, or $\mathbb{R}$ n'est pas stable par multiplication complexe" ne marche pas parce que tu n'as pas, a priori, de preuve que ce serait forcément la multiplication complexe (ça pourrait être quelque chose de chelou comme $\lambda\cdot x = Re(\lambda) x e^{Im(\lambda)}$ - bien sûr, ça ne marche pas, pour l'argument de dimension expliqué plus haut, mais ce que j'essaie de dire c'est que la structure d'ev réel ne détermine pas la structure d'ev complexe, en particulier ce ne serait pas forcément la multiplication)

PolVano : Je ne comprends pas, tu as su me répondre que si $E$ est un espace vectoriel complexe de dimension $n$, alors en tant qu'espace vectoriel réel il est de dimension $2n$ : à partir de là comment est-ce qu'un espace vectoriel réel de dimension $2k+1$ peut-il être muni d'une structure complexe ?
En dimension infinie, c'est toujours possible (sous réserve de l'axiome du choix), essentiellement c'est parce que tout cardinal infini est "divisible par $2$"

Au passage, il existe tout de même un moyen d'étendre les scalaires, mais on change l'ensemble sous-jacent à l'espace vectoriel en question. Par exemple si $E$ est un $\mathbb R$-espace vectoriel de dimension $n$, alors $E \otimes_{\mathbb R} \mathbb C$, appelé le complexifié de $E$, est un $\mathbb C$-espace vectoriel de dimension pour les lois suivantes : l'addition est l'addition usuelle sur le produit tensoriel, et la multiplication par un scalaire complexe $\lambda$ est définie sur les tenseurs purs par $$\lambda (x \otimes z) = x \otimes \lambda z.$$ Ça n'a bien sûr rien à voir avec $\mathbb R$ et $\mathbb C$ et constitue une procédure générale pour passer d'un espace vectoriel sur un corps à un espace vectoriel sur un corps plus grand.

Désolé pour le retard, oui bien sûr ça existe :-D

Je trouve l'exposition particulièrement limpide dans le livre Module : théorie pratique, et un peu d'arithmétique de Grégory Berhuy chez Calvage & Mounet.