Espaces cycliques en somme directe

Bonjour à tous,
Si $E$ est un $\mathbb{C}$-ev et $f \in \mathcal{L}(E)$, je cherche à quelle condition sur $x, y \in E$ les sous-espaces cycliques $E_{f,x}=\{P(f)(x),P \in \mathbb{C}[X]\}$ et $E_{f,y}=\{P(f)(y),P \in \mathbb{C}[X]\}$ sont en somme directe. La condition $x, y$ non colinéaires n'est clairement pas suffisante... des idées ?
Merci d'avance !

Une condition suffisante suffisante classique est que les polynômes minimaux $\pi_x$ et $\pi_y$ soient premiers entre eux.

Mais ce n'est bien sûr pas une condition nécessaire

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