Résolution équation différentielle

frinoug · May 2019

Bonjour
Je suis bloquée à cette exercice, en lien. Je vous ai également joins ce que j'ai commencé à faire.

Merci d'avance
Cordialement 86872

paf · May 2019

Bonjour,

Une petite indication : considère la fonction $g$ définie par:
$$\forall x\in\mathbb R,\;g(x) = f(x) + f(-x).$$
Si $f$ est solution de l'équation différentielle $f' = \frac12 g$ alors $g$ est elle-même solution d'une équation différentielle : laquelle ?

YvesM · May 2019

Bonjour,

Pourquoi ne pas calculer $f’(-x)$ pour tout $x$ réel puis $f”$ ?

Ou encore : quelle est la parité de la fonction $f’$ ? Donc quelle est la parité de la fonction $f$ à une constante additive prés ? Et donc ?

frinoug · May 2019

on remarque que f'(x) = f'(-x) donc f' est paire donc f est impair donc f(x) + f(-x) = 0 = f'(x)

Mais je ne suis pas sûre de la solution, cela signifie que l'ensemble des fonctions vérifiant cette équation sont les fonction impaires dont la dérivée est nulle ?

Math Coss · May 2019

Attention : la dérivée de $f:x\mapsto 1+x$ est paire mais $f$ ne l'est pas.

frinoug · May 2019

Je ne suis pas sûre de comprendre, si f est pair et dérivable, f' est impair mais le réciproque est fausse, c'est ça ?

Math Coss · May 2019

Oui. Cependant, elle est fausse, mais « de peu ». Si tu essayais de la démontrer (il y a une ligne à écrire) tu verrais l'obstacle et, du même coup, comment rectifier l'assertion.

frinoug · May 2019

si f'(-x) = f'(x), on intègre : - f(-x) + cste = f(x) + cste'

donc f n'est pas paire sauf si cste = cste' ?

nicolas.patrois · May 2019

Sauf que f est dérivable donc continue, notamment en 0.

frinoug · May 2019

Je ne suis pas sûre d'avoir tout compris :

f'(x) = f'(-x) donc f' est pair, si on intègre, on a - f(-x) + cste = f(x) + cste', donc il faut que f' soit continue ( f dérivable)

et donc f'(x) = 1/2 ( cste-cste') = cste''

donc les fonctions f solutions sont les fonctions f dérivables sur R, tel que leur dérivé est une constante de R ?

Math Coss · May 2019

Tu mélanges un peu les arguments. Les hypothèses sont : $f$ est dérivable, sa dérivée $f'$ est continue (sans ça on ne peut pas (facilement) intégrer) et elle est paire. Alors, pour tout $x$, \[
f(x)-f(0)=\int_0^xf'(t)\mathrm{d}t=\int_0^xf'(-t)\mathrm{d}t\stackrel{u=-t}{=}\int_0^{-x}f'(u)(-\mathrm{d}u)=-\bigl(f(-x)+f(0)\bigr).\] Autrement dit, $f-f(0)$ est impaire.

Résolution équation différentielle

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