Groupe Topologique

viko
viko
dans Algèbre
Bonjour,

Je ne sais pas trop si ce fil doit résider dans algèbre ou topologie, libre à vous de le déplacer.

Récemment dans un problème du Gourdon Analyse, que j'ai trouvé particulièrement élégant, j'ai découvert la notion de groupe topologique. Il s'agirait d'un groupe muni d'une structure métrique rendant la loi de groupe et la prise d'inverse continues. Dans quel(s) domaine(s) retrouve-t-on ces structures ? Quelles sont leurs applications ? Où puis-je trouver des références pour en apprendre plus à leur sujet ? (web ou papier)

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Ces structures sont largement étudiées, en particulier pour les liens avec la théorie de l'intégration, donc tu devrais trouver pas mal de bouquins sur le sujet (il doit y avoir un tome de Bourbaki qui leur est consacré, mais ça date !)

    Cordialement.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Pas forcément métrique, plus généralement on met juste une topologie sur ledit groupe qui rend tout continu.

    On les trouve à plein d'endroits :
    en géométrie différentielle, les groupes de Lie sont en particulier des groupes topologiques (métriques, ceux-là);
    en théorie de Galois les extensions finies ont des groupes de Galois finis, mais les extensions infinies ont des groupes de Galois qui ont une topologie naturelle très intéressante, on dit que ce sont des groupes profinis;
    en dynamique topologique, on peut étudier des actions continues de groupes topologiques (pour le fun, même si ce n'est pas dans le cadre général, ça a des applications jusqu'en théorie de Ramsey);
    en topologie algébrique on étudie des groupes topologiques et différentes variations sur le même thème (des structures qui sont presque des groupes);
    en théorie des représentations on va souvent se déplacer vers des représentations continues de groupes topologiques (typiquement de groupes de Lie, lien avec mon premier exemple) - c'est lié à la théorie de Fourier;
    je ne sais pas dans quelle mesure ça a un intérêt mais en géométrie algébrique on rencontre aussi des groupes qui sont munis d'une topologie;
    etc.etc.

    Le peu que j'avais lu de ce document m'avait semblé plutôt intéressant et bien fait. En gros ce qui se passe c'est que les deux structures interagissent de manière assez follement riche et donc on a, même en toute généralité, une théorie super intéressante
  • Math Coss
    Math Coss
    Un principe attribué à Gromov stipule qu'il n'y a pas de théorème (non trivial) sur les groupes : c'est une structure trop générale pour en dire quoi que ce soit de général. Pour avoir des théorèmes (intéressants) sur les groupes, il faut donc restreindre un peu le domaine en ajoutant des propriétés : groupe fini, groupe de type fini, groupe topologique, groupe de Lie, groupe algébrique, you name it. Là, l'interaction entre les propriétés de groupe et les propriétés géométriques variées donne des théories intéressantes.
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Tu peux regarder du côté de l'analyse harmonique.
  • viko
    viko
    @gerard0 C'est inattendu....

    @Maxtimax Oui mais chut, le programme ne m'autorise pas à prononcer "espace topologique" sans que je me fasse réprimander (déjà espace métrique c'est limite limite). Par ailleurs merci pour la (très complète) liste de référence ainsi que le document qui a l'air passionnant, je vais m'empresser de l'éplucher
  • Maxtimax
    Maxtimax
    gerard0 mentionne un lien avec la théorie de l'intégration : peut-être s'agit-il "simplement" de la mesure de Haar sur un groupe localement compact ? ( qui devient mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^n$)

    Au-delà de ça, je connais les réprimandes qui viennent avec le programme :-D il suffit de ne pas les prononcer très forts, voilà tout
  • Krokop
    Krokop
    Tiens comme Max parle de la mesure de Haar, une application (qui devrait te plaire Maxtimax )

    Si tu prends un espace vectoriel réel $E$ de dimension finie tel que le groupe de ses isométries linéaires $G$ opère transitivement sur la sphère unité alors $E$ est isométrique à $\ell_2^{\dim E}.$
  • Poirot
    Poirot
    Pour compléter très légèrement la liste de Maxtimax :

    En géométrie différentielle il n'y a pas que des groupes de Lie, les groupes de difféomorphismes (ou variantes proches) des variétés peuvent contenir des informations non triviales à propos de ces variétés.

    Les groupes de Galois profinis ont de nombreuses applications en théorie des nombres.
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