Liberté et sous-corps
dans Algèbre
Salut,
Soit $E$ un $K$-ev et $L$ un sous-corps de $K$. On montre facilement que si une famille est $K$-libre alors elle est $L$-libre. Quelqu'un aurait-il un exemple simple illustrant que la réciproque est fausse ?
Soit $E$ un $K$-ev et $L$ un sous-corps de $K$. On montre facilement que si une famille est $K$-libre alors elle est $L$-libre. Quelqu'un aurait-il un exemple simple illustrant que la réciproque est fausse ?
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Réponses
On peut regarder le corps des rationnels et une extension des rationnels engendrée par un irrationnel ($L = \mathbb{Q}$ et $K = \mathbb{Q}[\alpha]$ avec $\alpha \in \mathbb{R}- \mathbb{Q}$)
tu prends $E=\mathbb{R}$, $K=\mathbb{R}$ et $L=\mathbb{Q}$. La famille $\lbrace1,\pi\rbrace$ est libre pour $L$ mais pas pour $K$.
plus généralement si $k$ est un corps et $x$ est un élément non algébrique sur $k$ $x \notin k$ est algébrique sur $k$,alors en prenant $L = k$ et $K = k[x]$ on a ce qu'on veut
ton exemple correspond à $k = \mathbb{R}$ et $x =i$
et le mien à $k = \mathbb{Q}$ et $x = \alpha$
Sans aucune rigueur, si $(e_1,\,\cdots,\,e_n)$ est une $\C$-base de $\text{E}$ en tant que $\C$-e.v., alors $(e_1,\,\cdots,\,e_n,\,i\,e_1,\,\cdots,\,i\,e_n)$ est une $\R$-base de $\text{E}$ en tant que $\R$-e.v.
Cordialement,
Thierry