Polynômes positifs et somme de carrés

mazza · May 2019

Bonjour à tous
Il est connu que tout polynôme $P\in\mathbb R[X]$ tel que $P(x)\geq 0$ est somme de carrés de deux polynômes.
Mais j'ai lu que si $P(x)>0$ pour $x\in[-1,1]$ alors $P(X)=A^2(X)+(1-X^2) B^2(x)$ où $(A,B)\in\mathbb R[X]^2.$
Avez-vous une idée de la démonstration de ce résultat ?

bisam · May 2019

Je pense que la même approche fonctionne.

On montre que l'ensemble E des polynômes positifs sur [-1,1] et l'ensemble F des polynômes qui s'écrivent $A^2+(1-X^2)B^2$ sont stables par produit. Ensuite, vérifier que F est inclus dans E et que les polynômes de degré inférieurs à 2 de E sont dans F et enfin conclure en factorisant en produit d'irréductibles.

Je n'ai pas vérifié si ça marche réellement, ceci dit...

Polynômes positifs et somme de carrés

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