Polynômes premiers et corps

Ça n'existe pas puisque le résultat d'une division euclidienne de polynôme ne dépend que du corps des coefficients.

side : le rang d'une matrice est la taille de la plus grande sous-matrice extraite inversible, et l'inversibilité ne dépend pas du corps.

Si on veut des résultats qui vont plus loin d' "inertie" (je crois que c'est le terme technique), on peut s'intéresser au polynôme minimal d'une matrice (son polynôme caractéristique ne dépend évidemment pas du corps puisque c'est un déterminant, la question suivante est donc celle du polynôme minimal). La réponse à cette question utilise le résultat mentionné par side (c'est un exercice qui est dans le Cassini "Oraux X-ENS" :-D )

side : je suis d'accord; mais quand je réfléchis à pourquoi le résultat semble surprenant je me rends compte que c'est parce que j'ai une mauvaise image de ce qui se passe : je pense automatiquement à la famille $(1,i)$ qui est $\R$-libre mais pas $\C$-libre, mais bien évidemment elle ne pose aucun problème, car en réalité c'est la famille $((1,0), (0,1))$ qu'on devrait considérer.

En fait ce qu'on dit a à voir avec $\otimes_K L$, et le voir comme ça permet de généraliser : si j'ai une application linéaire (une matrice) $f: K^n\to K^n$, son rang c'est la dimension de l'image; mais il est bien connu que l'image de $f\otimes_K L$ (qui est la matrice $f$, mais vue sur $L$) est $im(f) \otimes_K L$. Bon, bah lorsque $im(f)$ est libre de dimension $r$ sur $K$ (toujours le cas lorsque $K$ est un corps), $im(f)\otimes L$ est libre de dimension $r$ sur $L$. Mieux en fait, si $im(f)$ a un sommande libre de dimension $r$, $im(f)\otimes L$ aussi (mais libre sur $L$ cette fois-ci) - la réciproque n'étant pas vraie, penser à $K=\mathbb{Z}, L=\mathbb{F}_p$ par exemple

Pour le polynôme minimal : c'est pas si compliqué : comme tu le dis tu as une relation de divisibilité, donc il suffit de comparer les degrés; et d'interpréter le degré comme un rang

supp

La décomposition de Frobenius règle à la fois le problème du polynôme minimal et celui de la similitude, pour toute extension de corps.

La décomposition de Frobenius sur le petit corps est aussi la décomposition de Frobenius sur le grand (une matrice compagnon reste une matrice compagnon !).

Un autre résultat "de descente" : si $L/K$ est une extension de corps de degré impair, et si $q$ est une forme quadratique définie par un polynôme homogène de degré $2$ à coefficients dans $K$, alors $q$ admet un vecteur isotrope non nul dans $L^n$ (i.e. il existe $x \in L^n$ non nul tel que $q(x)=0$) si et seulement si elle admet un vecteur isotrope non nul dans $K^n$.

Le résultat est clairement faux en degré pair, par exemple en regardant $q(x,y)=x^2+y^2$ sur $\mathbb R^2$ et sur $\mathbb C^2$.