Suite exacte longue de cohomologie

pourquoi tu définis pas tes machins ?

envoyez $H^{i-1}(X,O_X(X)^*)$ vers $0 \in H^i(X,\Bbb{Z})$, envoyer $H^i(X,\Bbb{Z})$ vers $H^i(X,O_X(X))$ (en envoyant $n$ vers la fonction constante $=2i\pi n $), envoyer $H^i(X,O_X(X))$ vers $H^i(X,O_X(X)^*)$ (en envoyant $f $ vers $\exp( f )$), ça a l'air de donner une suite exacte

Pablo : c'est vrai pour $k=1$ mais je ne crois pas que ça marche en général.

Maxtimax : je crois pas que c'est la cohomologie de Dolbeaut, c'est juste les formes de $H^k(X, \Bbb C)$ à coefficient entiers tel qu'on puisse écrire un représentant de manière locale comme $(dz_1 \wedge d\overline{z_1}) \wedge \dots \wedge (dz_k \wedge d \overline{z}_k)$.

Maxtimax : en fait tu as raison ce que j'ai écrit est juste mais c'est évidemment la cohomologie de Dolbeault $H^q(X, \Omega_q)$. Par la décomposition de Hodge on peut voir ça comme sous-espace de la cohomologie de de Rham à coefficients complexes, qui admet aussi la cohomologie à coefficients entiers comme sous-module, par conséque on peut regarder l'intersection (plus de détail ici : https://math.stackexchange.com/questions/2617508/how-are-rational-algebraic-hodge-classes-of-type-p-p-defined/2619033#2619033). Donc mea culpa !

Ah ok !! En fait c'est assez joli, ça dit que $H^k(X, \Bbb C)$ (la cohomologie de De Rham à coefficients complexes) se décompose comme $$H^k(X, \Bbb C) = \bigoplus_{p+q = k} \mathcal H^{p,q}$$ où $\mathcal H^{p,q}$ est l'espace des formes harmoniques de type $(p,q)$. Donc en fait c'est un théorème très fort c'est parce qu'il te donne une classe de cohomologie comme un "vrai" objet (i.e une classe de cohomologie corresponds à une FORME harmonique !!).

Tout est sensé venir de la métrique en fait et d'ailleurs cette décomposition marche pour n'importe quel complexe elliptique (qui est un truc d'équation différentielle donc je connais pas trop :-D)

Toute la décomposition de Hodge vient de cette observation (qui vient de Viro et que j'ai connu grâce un post mathoverflow d'Alex Degtyarev) : Si tu as un complexe $E_1 \to E_2 \to E_3 \to \dots $ d'espaces vectoriels de dimension finie, muni d'un produit scalaire, alors tu peux identifier $E_1^* = E_1$ et tu obtiens un complexe dans l'autre sens $E_1 \leftarrow E_2 \leftarrow E_3 \leftarrow \dots $

Du coup si $d$ est ta différentielle, on obtient $d^*$ et on peut définir le laplacien de $E_*$ comme $\Delta = d d^* + d^*d$. En fait maintenant le théorème de Hodge c'est juste que $\ker d \cap \ker d^* = \ker \Delta$ (c'est de l'algèbre linéaire :-D ) et en fait si tu réfléchis $\ker d^*$ c'est le complémentaire de l'image du coup ça revient à dire que la cohomologie de $d$ se calcule juste comme le kernel de ce mystérieux opérateur $\Delta$.

C'est déjà quelque chose de très surprenant je trouve mais en fait je n'ai appris ça que récemment. Ce que je trouve le plus surprenant dans la théorie de Hodge c'est que le théorème difficile de Lefschetz est en fait intimement relié à la théorie des représentations de $\mathfrak{sl}_2(\Bbb C)$.

En fait même pour les variétés abéliennes ca ne me parait pas trivial après examen plus approfondi.

NoName : tu pourrais ajouter quelques détails si ça ne te dérange pas ? Je serais intéressé par voir la preuve.

Merci beaucoup. Je ne comprends pas quelque chose, $\Lambda$ est discret, comment il peut avoir de la cohomologie supérieure ? Je suis d'accord que c'est ce qu'on obtient en regardant la suite spectrale mais il me semble que ça veut dire que $H^1 = 0$ ce qui est absurde car il existe évidemment des fibrés non triviaux sur une courbe elliptique. Je ne comprends pas l'argument "générique" aussi mais ne me dis rien je vais essayer d'y réfléchir :-)
Merci encore !