Plus petit groupe non commutatif
Bonjour
J'aimerais savoir s'il y a une preuve pour déterminer l'entier $n$ tel qu'il existe un groupe $G$ de cardinal $n$ et $G$ non commutatif. Je sais que l'entier c'est $n=6$ en me basant sur le fait que $\mathfrak S_3$ est non commutatif et qu'un groupe de cardinal $p$ ou $p^2$ avec $p$ premier est commutatif. Mais j'aimerais savoir s'il y a une démonstration plus abstraite, qui ne nécessite pas de connaître que $\mathfrak S_3$ est non commutatif ou autre groupe qui lui est isomorphe.
Merci d'avance
J'aimerais savoir s'il y a une preuve pour déterminer l'entier $n$ tel qu'il existe un groupe $G$ de cardinal $n$ et $G$ non commutatif. Je sais que l'entier c'est $n=6$ en me basant sur le fait que $\mathfrak S_3$ est non commutatif et qu'un groupe de cardinal $p$ ou $p^2$ avec $p$ premier est commutatif. Mais j'aimerais savoir s'il y a une démonstration plus abstraite, qui ne nécessite pas de connaître que $\mathfrak S_3$ est non commutatif ou autre groupe qui lui est isomorphe.
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Réponses
Naïvement, est-ce faisable d’écrire tous les groupes de cardinal 2, 3 et 4 puis 5 ?
Naïvement disais-je, sans « rien » connaître d’autres.
Cordialement
Dom
Ensuite il y a un théorème "abstrait" qui classifie les groupes d'ordre $pq$ lorsque $p,q$ sont premiers, et il nous dit en particulier : si $p\mid q-1$, il y en a un qui est non commutatif. Or $2 \mid 2 = 3-1$ et $6=2\times 3$. Ensuite il faut voir si ce théorème compte comme abstrait ou pas
Alain
Pardon, ce n’est que de l’humour et un jeu de mots.
Sinon @Dom , oui il est possible de le faire ( un peu pénible mais possible ). Merci pour votre réponse.
Merci @Maxtimax pour votre réponse. C'était exactement ce que je cherchais, une démonstration ( en l'occurrence le théorème que vous utilisez ) qui sera générale et que l'exercice sera vu comme application.
Merci encore.
[B-) AD]