$X^2-2$ irréductible sur $\mathbf Q$

Salut,

J'utilise la définition suivante. On dit que $P$ est irréductible sur $\mathbf K$ si $P$ est non inversible et si les seuls diviseurs de $P$ sont ses associés et les éléments de $\mathbf K\backslash\{0\}$.

Posons $P=X^2-2$. Alors $P$ n'est pas irréductible sur $\mathbf R$ car $X-\sqrt{2}$ divise $P$ et n'est pas associé à $P$. Toutefois, je n'arrive pas à justifier que $P$ est irréductible sur $\mathbf Q$. Comme $P$ n'est pas inversible, il suffit de montrer que tout diviseur $D$ de $P$ n'appartenant pas à $\mathbf Q\backslash\{0\}$ est associé à $P$. Mais je bloque.