Matrices et rang

Hello,

Action de groupe ? Disons que l'on considère l'action de $\text{GL}_n \times \text{GL}_m$ sur $\mathcal{M}_{n,m}$ :
$$
(P,Q) \star A = PAQ^{-1}
$$
Alors l'ensemble des matrices de rang $r$ est exactement l'orbite de la matrice $I_{n,m,r}$ (avec $r$ $1$ sur la diagonale). Mais on a un résultat qui dit que orbite c'est pareil que l'ensemble sur le stabilisateur (là c'est ensembliste et je ne sais pas du tout si ça passe bien niveau variété). Mais le stabilisateur de $I_{n,m,r}$ est donnée par
$$
P = \begin{bmatrix} A &B \\ 0 & D \end{bmatrix} \qquad
Q = \begin{bmatrix} A &0 \\ C' & D' \end{bmatrix}$$
c'est un truc de dimension $r^2+r(m-r)+(m-r)^2+ (n-r)r+(n-r)^2$. Et on trouve :
$$
n^2+m^2 -(r^2+r(m-r)+(m-r)^2+ (n-r)r+(n-r)^2) = nr + mr - r^2 = mn-(m-r)(n-r)
$$
On retombe sur nos pattes !

(les calculs sont présentés dans le livre " Histoires Hédonistes de groupes et géométries ").

Oui, enfin il y a plus de choses que ça à verifier. Une orbite sous l'action (lisse) d'un groupe de Lie n'est pas automatiquement une variété, il faut a minima que l'orbite soit localement fermée ce qui est bien le cas ici.
Si l'orbite est fermée alors tu as un homeomorphisme de $G/Stab(x)$ sur celle-ci, comme Stab(x) est fermé dans $G$, alors $G/Stab(x)$ a une structure naturelle de groupe de Lie, qui rende l'homeo precedent lisse et qui fasse de l'orbite une sous variété de l'espace sur lequel $G$ agit. On a alors bien sur égalité des dimensions.

Mais les choses peuvent mal se passer comme l'illustre la sempiternelle droite de pente irrationnelle dans le tore.

Hello,

Je suis d'accord avec le côté action de groupe ! En particulier, ton application $\overline{\pi}$ est bijective ! Mais il faut faire attention car y a certainement des choses topologiques à vérifier, vu qu'on veut mettre de la topologie et plus dedans il y a des conditions Je suis en train de lire quelques trucs sur le sujet histoire de voir ce qu'il faut exactement, par exemple je pense qu'il faut que le stabilisateur soit fermé pour que ça se passe bien.

Est-ce que tu vois que le stabilisateur de $I_r$ est fermé dans $\text{GL}_n \times \text{GL}_m$ ?

Sinon, y a le théorème 1 et 2 ici qui semble contenir ce qu'il faut ! Reste à comprendre

Ps : Le théorème $5$ à la fin du texte est encore plus simple d'utilisation !!! (Pour mon histoire de fibre on les mêmes dimensions, en fait peu importe, c'était juste pour donner une intuition, mais y'a tout ce qu'il faut dans les théorèmes du papier .

$\newcommand {\Binom}[2]{\genfrac{[}{]}{0pt}{}{#1}{#2}}\def\M{\mathbb M}\def\GL{\mathbb {GL}}\def\F{\mathbb F}$@Mister Da
Je me permets d'intervenir pour dire quelques banalités en algèbre linéaire. J'ai lu rapidement le fil et je n'ai rien vu de tel, probablement parce que ce sont des banalités (ou alors j'ai loupé quelque chose ?). Bref, ici, on est loin des choses ``savantes'' mentionnées dans les posts précédents. On travaille avec un corps de base $K$ quelconque (commutatif bien entendu).

1. Fabriquer des matrices de rang $r$. Soit $M \in \M_{n,m}(K)$ de rang $r$ avec un mineur $\det_{I \times J}(M) \ne 0$ où $I \subset \{1..n\}$, $J \subset \{1..m\}$ sont des parties de cardinal $r$. Pour des raisons de confort (notations), je suppose $I = J = \{1..r\}$. Je dis que $M$ est de la forme :
$$
M = \left[ \matrix { A_{r\times r} & B_{r \times (m-r)} \cr C_{(n-r)\times r} & CA^{-1} B\cr} \right]
\qquad\qquad\qquad
\left[\matrix {B\cr CA^{-1}B} \right] = \left[\matrix {A\cr C} \right] \ A^{-1}B
\qquad\qquad\qquad
M = \left[ \matrix { A_{r\times r} & B_{r \times (m-r)} \cr C_{(n-r)\times r} & \star\cr} \right]
$$
Beaucoup de monde dans cette ligne mais c'est pour gagner de la place. Cela peut se lire de gauche à droite. A gauche, j'ai divisé $M$ en 4 blocs en indiquant les dimensions des blocs ; $A$, carrée $r \times r$, est inversible (par hypothèse sur le mineur). Au milieu, c'est censé expliquer pourquoi chaque colonne ``de gauche'' de $M$ (parmi les $m-r$ dernières) est une combinaison linéaire des $r$ premières colonnes, permettant de confirmer que l'image de $M$ admet comme base les $r$ premières colonnes de gauche et donc que $M$ est bien de rang $r$. Enfin à droite, $\star$ c'est d'une part pour faire joli mais d'autre part pour ne pas oublier que les $(n-r)(m-r)$ coefficients sont imposés par les autres, en nombre $nm -(n-r)(m-r)$ ; et également pour signifier qu'il y a une seule manière de boucher $\left[ \matrix { A & B \cr C & \star\cr} \right]$ de façon à faire de $M$ une matrice de rang $r$.

2. De manière un peu plus formelle, on vient de définir une injection dans l'ensemble des matrices de rang $r$.
$$
\GL_r(K) \times \M_{r,m-r}(K) \times \M_{n-r,r}(K) \to \M_{n,m}(K) \qquad\qquad
(A,B,C) \longmapsto \left[ \matrix { A & B \cr C & CA^{-1}B \cr} \right]
$$
Idem avec $I,J$ de cardinal $r$ au lieu de $I = J = \{1..r\}$. Je note $U_{I,J}$ l'image parce que ``quelque part'', $U_{I,J}$ est un ouvert dit élémentaire, spécifié par la (non nullité de) la fonction $\det_{I \times J}$.

3. Il faudrait aller un peu plus loin pour dire en quoi cette injection est un isomorphisme de ``variétés algébriques'' . Il faudrait faire débarquer la sous-variété (affine) $V^{(r)}$ de $\M_{n,m}$ des matrices de rang $\le r$, spécifiée par l'idéal $\mathcal D_{r+1}(X)$ des mineurs d'ordre $r+1$ de la matrice générique $X = X_{n,m}$ à $n$ lignes et $m$ colonnes. Et $U_{I,J}$ est un ouvert élémentaire de $V^{(r)}$. Mais le post est déjà long (la belle excuse).

4. Ca, c'est sûr que je ne l'ai pas vu. Le nombre de matrices $n\times m$ de rang $r$ sur un corps fini $\F_q$ est un polynôme (unitaire) en $q$ de degré $nm -(n-r)(m-r)$. C'est très exactement le produit des 3 polynômes de degrés (en $q$) respectifs $r(n-r)$, $r(m-r)$, $r^2$
$$
\Binom{n}{r}_q \times \Binom{m}{r}_q \times Q_r(q^r) \qquad \qquad Q_r(X) = (X -1)(X-q) \cdots (X - q^{r-1})
$$
Avec les notations un peu près habituelles pour le $q$-polynôme binomial ($d$ facteurs au numérateur et au dénominateur)
$$
\Binom{n}{d}_q =
\frac{(1-q^n)(1-q^{n-1}) \cdots (1-q^{n-d+1})} {(1-q)(1-q^2)\cdots (1-q^d)}
$$
Là, ok, dans ce dernier point, je m'éloigne du sujet.