Lemme de Schur (représentations)
J'essaie de me remettre dans la théorie des représentations, et il y a certaines choses sur ce résultat fondamental qui me donnent un peu de mal. J'aimerais simplement savoir si ce que je vais dire est juste où si j'ai fait une erreur quelque part.
(Je précise aussi, quand je souligne un truc ou que je le mets en couleur, c'est avant tout pour moi-même :-D)
Soient $G$ un groupe fini, $\rho_1 : G \longrightarrow \text{GL}(V_1)$ et $\rho_2 : G \longrightarrow \text{GL}(V_2)$ deux représentations irréductibles de $G$, et $f : V_1 \longrightarrow V_2$ un opérateur d'entrelacement (donc une application linéaire telle que $f \circ \rho_1(g) = \rho_2(g) \circ f$ pour tout $g \in G$).
Dans Serre, on a le résultat suivant : Si $(\rho_1,V_1)$ et $(\rho_2,V_2)$ ne sont pas isomorphes, alors $f=0$. On dit que deux représentations sont isomorphes s'il existe un opérateur d'entrelacement entre les deux qui soit un isomorphisme.
Autrement dit, si $f \neq 0$, alors les deux représentations sont isomorphes. Dans mon cours de Master, on avait même démontré que si $f \neq 0$, alors $f$ lui-même est un des isomorphismes entre les deux représentations. Donc en gros... un opérateur d'entrelacement entre deux représentations irréductibles est un isomorphisme si, et seulement si, il est non nul, c'est ça ? (il est évident que si $f$ est un isomorphisme, alors $f \neq 0$).
Du coup, j'aimerais retenir ça sous la forme suivante :
Deux représentations irréductibles sont isomorphes si, et seulement si, tout opérateur d'entrelacement non nul entre les deux est un isomorphisme.
En pratique : Si l'on arrive à trouver ne serait-ce qu'un seul entrelacement (entre deux représentations irréductibles, toujours), non nul, qui ne soit pas un isomorphisme, alors elles ne sont pas isomorphes.
J'ai cherché dans quelques sources (Serre, mon cours, Wikipédia, 2-3 PDFs de cours trouvés sur Google) et les choses ne sont jamais présentées de cette manière alors que pour moi, ça serait plus clair comme ça.
Et, oui, je sais qu'on ne va pas utiliser ça en pratique pour classer les représentations irréductibles à isomorphisme près.
(Je précise aussi, quand je souligne un truc ou que je le mets en couleur, c'est avant tout pour moi-même :-D)
Soient $G$ un groupe fini, $\rho_1 : G \longrightarrow \text{GL}(V_1)$ et $\rho_2 : G \longrightarrow \text{GL}(V_2)$ deux représentations irréductibles de $G$, et $f : V_1 \longrightarrow V_2$ un opérateur d'entrelacement (donc une application linéaire telle que $f \circ \rho_1(g) = \rho_2(g) \circ f$ pour tout $g \in G$).
Dans Serre, on a le résultat suivant : Si $(\rho_1,V_1)$ et $(\rho_2,V_2)$ ne sont pas isomorphes, alors $f=0$. On dit que deux représentations sont isomorphes s'il existe un opérateur d'entrelacement entre les deux qui soit un isomorphisme.
Autrement dit, si $f \neq 0$, alors les deux représentations sont isomorphes. Dans mon cours de Master, on avait même démontré que si $f \neq 0$, alors $f$ lui-même est un des isomorphismes entre les deux représentations. Donc en gros... un opérateur d'entrelacement entre deux représentations irréductibles est un isomorphisme si, et seulement si, il est non nul, c'est ça ? (il est évident que si $f$ est un isomorphisme, alors $f \neq 0$).
Du coup, j'aimerais retenir ça sous la forme suivante :
Deux représentations irréductibles sont isomorphes si, et seulement si, tout opérateur d'entrelacement non nul entre les deux est un isomorphisme.
En pratique : Si l'on arrive à trouver ne serait-ce qu'un seul entrelacement (entre deux représentations irréductibles, toujours), non nul, qui ne soit pas un isomorphisme, alors elles ne sont pas isomorphes.
J'ai cherché dans quelques sources (Serre, mon cours, Wikipédia, 2-3 PDFs de cours trouvés sur Google) et les choses ne sont jamais présentées de cette manière alors que pour moi, ça serait plus clair comme ça.
Et, oui, je sais qu'on ne va pas utiliser ça en pratique pour classer les représentations irréductibles à isomorphisme près.
Réponses
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Salut Homo topi,
Ta phrase "en pratique si on arrive à trouver ... ", elle me semble vraiment louche, tu es certain que c'est exactement ce que tu as voulu dire ? -
Ben, en admettant que le truc que je dis juste avant est juste, à savoir : Deux représentations irréductibles sont isomorphes si, et seulement si, tout opérateur d'entrelacement non nul entre les deux est un isomorphisme, on devrait avoir ça :
Si je suppose que "tout opérateur d'entrelacement non nul entre les deux est un isomorphisme" est faux, alors "les deux représentations sont isomorphes" doit être faux. Donc s'il existe un opérateur d'entrelacement entre les deux représentations, qui est non nul mais pas un isomorphisme pour autant, il faudrait que les deux représentations ne soient pas isomorphes. Non ? -
Dans l'ordre :
Oui, c'est ça, ça se retrouve sous des formes comme "l'anneau des endomorphismes est un anneau à division", mais oui c'est ça.
La remarque de ModuloP est judicieuse, au sens où si tu arrives à trouver un opérateur non nul, qui n'est pas un isomorphisme, la conclusion c'est que l'une des représentations n'est pas irréductible. En particulier si les deux sont irréductibles alors elles ne sont pas isomorphes; mais aussi elles sont isomorphes. Et elles sont bleues, peu importe ce que "bleue" veut dire. -
Homo topi :
Je voulais dire que en pratique tu ne trouvera jamais de morphisme non nul entre deux représentations irréductibles qui n'est pas un isomorphisme. Et donc tu parles de l'ensemble vide et tu dis : si $\phi \in \emptyset$ alors $\phi$ est blablabla. (c'est ce que dis Max). Je ne dis pas que c'est faux mais en pratique c'est peut-être pas ce qu'il y a de plus intéressant ! -
En fait, en écrivant mon message, j'étais encore en train de réfléchir à la question, et je me suis emmêlé les pinceaux comme à mon habitude :-D. C'est effectivement à ça que je voulais arriver !
Puisqu'un entrelacement non nul entre deux représentations irréductibles est forcément un isomorphisme, si on trouve un entrelacement non nul entre deux représentations qui n'est pas un isomorphisme, on sait qu'au moins l'une des deux n'est pas irréductible. Voilà.
OK, merci ! (:D -
$f$ définit une sous-représentation $(\rho_2,f(V_1))$ de $(\rho_2,V_2)$ donc si $f$ n'est pas surjective ou nulle alors $(\rho_2,V_2)$ n'est pas irréductible
et une sous-représentation $(\rho_1,\ker f)$ de $(\rho_1,V_1)$ donc si $f$ n'est pas injective ou nulle alors $(\rho_1,V_1)$ n'est pas irréductible -
C'est vrai Homo Topi, que c'est une formulation plutôt claire, mais elle n'est probablement pas utilisée parce que le lemme de Schur ne sert pas à montrer l'isomorphisme entre deux représentations.
Le lemme de Schur sert à montrer d'autres résultats, ou à calculer en pratique la valeur d'un opérateur d'entrelacement, l'opérateur moyenne par exemple : $$
\begin{array}{rccl}
M :& Hom(V_1,V_2) &\longrightarrow &Hom(V_1,V_2) \\
& u &\longmapsto &\sum_{g\in G}{\rho_2(g)^{-1} \circ u \circ \rho_1(g)},
\end{array}
$$ (noté $h^0$ page 21 du bouquin de Serre si tu as l'édition Hermann).
En fait, le lemme de Schur (et de ses conséquences immédiates) indiquent que si $V_1$ et $V_2$ sont irréductibles et isomorphes, alors l'ensemble des opérateurs d'entrelacements est $Hom_G(V_1,V_2)=\{ \lambda u\mid \lambda \in \mathbb{C} \}$ où $u$ est un opérateur d'entrelacement déjà trouvé. Si $V_1$ et $V_2$ sont irréductibles non isomorphes, comme tu l'as dit, $Hom_G(V_1,V_2)=\{0\}$.
Le problème, c'est que le lemme de Schur ne nous simplifie pas la tâche. Il faut quand même trouver un isomorphisme entre $V_1$ et $V_2$.
Heureusement, il existe le critère des caractères pour tester l'isomorphisme de deux représentations quelconques.
En espérant que ça aide.
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