Théorème de Kronecker

raboteux · June 2019

Bonjour à tous,
Voilà une application du théorème cité en objet :

Je ne comprends pas tous les arguments :
- il est dit que la racines de $P$ sont dans le disque ouvert, donc en terme de racines appartenant à $\Z$ ça veut dire potentiellement seulement $0$
- donc les autres racines ne sont pas dans $\Z$ mais autre part (dans $\C$ je suppose)
- du coup il y a cet argument : "les racines de $P$ sont simples car $P$ est irréductible", si on parle bien d'irréductibilité dans $\Z[X]$, prenons par exemple le facteur $(X-\mu)²$ avec $\mu$ une racine complexe de l'unité, il ne serait pas un facteur appartenant à $\Z[X]$ mais bien à $\C[X]$, du coup cela ne démentirait pas l'irréductibilité de $P$ dans \Z[X]...

Mais je dois sûrement m'embrouiller quelques part ou faire une mauvaise lecture...
Si un avis peut m'être donné...
Merci !

NoName · June 2019

Comme $P$ est unitaire, $P$ est aussi irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$, et si $P$ a une racine double possiblement complexe disons $t$ alors $(X-t)$ divise $(P,P')=(f)$, avec $f \in \mathbb{Q}[X]$ et donc $\deg(f)>0$ et donc $P$ n'est pas irréductible.

raboteux · June 2019

Bonjour Noname,

Avant tout merci pour ta réponse. Par contre, elle va un peu trop vite pour moi, donc si j'interprète bien tes notations (dis moi le le cas échéant), $X-t$ divise tout éléments de l'idéal engendré $(P,P')$ et comme $Q[X]$ est principal, $(P,P')=(f)$ pour un $f$ donné, donc comme $X-1$ divise $f$, on a degré $f$ > 0 mais après je comprends pas ce qui permet de conclure que $P$ est irréductible, il me manque un argument...

NoName · June 2019

Ben tu as un $f$ de degré non nul (donc non inversible) mais plus petit que $deg(P)-1$ qui divise $P$, ce qui est compliqué si $P$ est irréductible.

Crapul · June 2019

Ce qui bloque (désolé si ce n'est pas le cas) peut-être raboteux, c'est que le fameux $f$, pgcd de $P$ et $P'$ dans $\Q [X]$, l'est aussi dans $\C [X]$.

raboteux · June 2019

Bonjour,

Merci pour ces clarifications.
J'ai une autre question : par application du théorème de Kronecker, on sait que les racines de $P$ sont des racines de l'unité, cependant je vais peut être dire une bêtise mais elle ne le sont pas forcément toutes pour le même $N$ non?
Du coup comment peux on affirmer que $P|X^N-1$?

Merci!