Produit scalaire

jeantonyk
jeantonyk
dans Algèbre
Bonjour, est-ce que nous sommes d'accord que l'égalité suivante est juste ?

Si on considère un projecteur orthogonal $P :E \to E $ avec $(E,\langle \cdot, \cdot \rangle)$ un espace euclidien, défini par $P_{N}f = \sum_{k=1}^N \langle e_{k},f \rangle e_{k} $.
Alors, $\langle P_{N}f, P_{N}f \rangle = \sum_{k=1}^N \langle e_{k},f \rangle ^2 $

avec $e_{k}$ le $k$-ième vecteur de la base canonique.

[Quand tu corriges ton message, ne réintroduis pas les fautes alors qu'elles viennent d'être corrigées. :-X AD]

Réponses

  • Crapul
    Crapul
    Tu devrais préciser ce que sont les $e_k$ et aussi il doit y avoir une coquille dans $P_N f$.
  • Dom
    Dom
    Avec les corrections soulevées par Crapul, j'y vois en effet que c'est correct et que l'on peut voir cela comme une application du théorème de Pythagore.
  • jeantonyk
    jeantonyk
    oui j'ai corrigé le problème dans $P_{N} f $ , mais je ne vois pas pourquoi ce n'est pas $\langle P_{N}f, P_{N}f \rangle = (\sum_{k=1}^N \langle e_{k},f \rangle )^2 $.
  • Poirot
    Poirot
    Ça s'appelle le théorème de Pythagore. Ou sinon développes le produit scalaire $$\Big\langle \sum_{k=1}^N \langle e_{k},f \rangle e_{k}, \sum_{k=1}^N \langle e_{k},f \rangle e_{k} \Big\rangle$$ pour voir ce qu'il se passe.
  • gerard0
    gerard0
    Jeantonyk,

    pourquoi voudrais-tu que le carré scalaire soit le carré de la somme des coordonnées ? Déjà avec les vecteurs du plan (en première S) c'était faux.
    Si $\overrightarrow{V}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$, alors $\overrightarrow{V}.\overrightarrow{V} = ....$ pas (2+3)².

    Cordialement
  • jeantonyk
    jeantonyk
    Oui désolé je suis trop bourré.
  • Dom
    Dom
    Tu pourrais au moins trinquer ! ;-)
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