Questions algèbre oral de mathématiques

Shadows Asgard
Shadows Asgard
dans Algèbre
Bonjour, je suis en classe préparatoire voie ECE et j'aimerais savoir, car dans le cadre d'un oral de mathématiques aux concours, le jury de professeurs peut nous demander "donnez-nous un exemple de matrice inversible/ non-inversible/ diagonalisable/ non-diagonalisable".
Pourriez-vous me conseiller un exemple de :
_ matrice inversible
_ matrice non-inversible
_ matrice diagonalisable
_ matrice non-diagonalisable
facile à retenir que je pourrais toujours garder en tête, et facile à redémontrer, car si je donne un exemple de matrice inversible/ ou non-inversible/ ou diagonalisable/ ou non-diagonalisable, le jury va très certainement me demander de montrer pourquoi la matrice en question est inversible/ ou non-inversible/ ou diagonalisable/ ou non-diagonalisable.

Merci d'avance pour votre réponse

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    En réfléchissant quelques secondes tu devrais parvenir à trouver des matrices $2 \times 2$ ne contenant que des $0$ et des $1$ répondant à chaque critère.
  • reuns
    reuns
    C'est bien de savoir que si le polynôme caractéristique $\det(M-xI)$ n'a aucune racine double alors la matrice est diagonalisable ($\det(M-Ia_j) =0 $ donc $\ker(M-Ia_j)$ contient un vecteur $v_j$ non-nul qui est vecteur propre, à la fin on a $n$ vecteurs propres indépendants qui forment une base de $\C^n$)

    S'ils te demandent la signification du $\det$ penser au volume orienté de l'image d'une sphère ou d'un parallélépipède de volume $1$ donne $\det(AB) =\det(A)\det(B)$ et $\det(A)\ne 0$ ssi $A$ est inversible
  • callipiger
    callipiger
    Bonsoir,
    on peut aussi utiliser les matrices d'applications, dans le même ordre la matrice:
    -l'identité
    -un projecteur différent de l'identité
    -une combinaison de projecteurs dont les images sont en somme directe
    -d'une transvection
    Bonne nuit.
  • Shadows Asgard
    Shadows Asgard
    Bonjour, merci pour vos réponses et explications.
    Mais pouvez-vous me donner des matrices concrètes à mémoriser svp ?
    Car Reuns le problème c'est que le "det" qui je crois signifie "déterminant" n'est pas à notre programme (prépa ECE).
    Et par contre Callipiger je ne suis qu'en prépa ECE et je ne connais pas les termes "projecteur" et "transvection".

    Merci d'avance pour votre réponse
  • Dom
    Dom
    Regarde le message de Poirot qui te suggère d’essayer de trouver toi-même de telles matrices.
    Il y en a 16 à essayer. Et 16 qui permettent de s’exercer à des démonstrations d’inversibilité ou non, de diagonalisabilité ou non.
  • Colas
    Colas
    Peux-tu montrer que $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ est non diagonalisable ?
  • Shadows Asgard
    Shadows Asgard
    Bonjour Colas, oui je peux.
    Cette matrice admet pour unique valeur propre 0, et le sous-espace propre associé est E0=Vect{(1 0)}
    Et on a : dim(E0) = 1
    Donc cette matrice est non diagonalisable.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Petite astuce d'étudiant : en cherchant "exercices matrices inversibles/diagonalisables" sur ton moteur de recherche favori, tu devrais pouvoir trouver plusieurs centaines d'exercices, et donc plusieurs centaines d'exemples ou de contrexemples :-D

    Sinon, j'dis ça j'dis rien, mais 100% des matrices non carrées sont ni inversibles, ni diagonalisables :)o
  • side
    side
    supp
  • Colas
    Colas
    La matrice $\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}$ pour $a$ réel est-elle inversible ?

    Si oui combien vaut son inverse ?
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