Questions algèbre oral de mathématiques

Bonjour, je suis en classe préparatoire voie ECE et j'aimerais savoir, car dans le cadre d'un oral de mathématiques aux concours, le jury de professeurs peut nous demander "donnez-nous un exemple de matrice inversible/ non-inversible/ diagonalisable/ non-diagonalisable".
Pourriez-vous me conseiller un exemple de :
_ matrice inversible
_ matrice non-inversible
_ matrice diagonalisable
_ matrice non-diagonalisable
facile à retenir que je pourrais toujours garder en tête, et facile à redémontrer, car si je donne un exemple de matrice inversible/ ou non-inversible/ ou diagonalisable/ ou non-diagonalisable, le jury va très certainement me demander de montrer pourquoi la matrice en question est inversible/ ou non-inversible/ ou diagonalisable/ ou non-diagonalisable.

Merci d'avance pour votre réponse



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.

En réfléchissant quelques secondes tu devrais parvenir à trouver des matrices $2 \times 2$ ne contenant que des $0$ et des $1$ répondant à chaque critère.

C'est bien de savoir que si le polynôme caractéristique $\det(M-xI)$ n'a aucune racine double alors la matrice est diagonalisable ($\det(M-Ia_j) =0 $ donc $\ker(M-Ia_j)$ contient un vecteur $v_j$ non-nul qui est vecteur propre, à la fin on a $n$ vecteurs propres indépendants qui forment une base de $\C^n$)

S'ils te demandent la signification du $\det$ penser au volume orienté de l'image d'une sphère ou d'un parallélépipède de volume $1$ donne $\det(AB) =\det(A)\det(B)$ et $\det(A)\ne 0$ ssi $A$ est inversible



Edité 3 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par reuns.

Bonsoir,
on peut aussi utiliser les matrices d'applications, dans le même ordre la matrice:
-l'identité
-un projecteur différent de l'identité
-une combinaison de projecteurs dont les images sont en somme directe
-d'une transvection
Bonne nuit.

Bonjour, merci pour vos réponses et explications.
Mais pouvez-vous me donner des matrices concrètes à mémoriser svp ?
Car Reuns le problème c'est que le "det" qui je crois signifie "déterminant" n'est pas à notre programme (prépa ECE).
Et par contre Callipiger je ne suis qu'en prépa ECE et je ne connais pas les termes "projecteur" et "transvection".

Merci d'avance pour votre réponse

Regarde le message de Poirot qui te suggère d’essayer de trouver toi-même de telles matrices.
Il y en a 16 à essayer. Et 16 qui permettent de s’exercer à des démonstrations d’inversibilité ou non, de diagonalisabilité ou non.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Dom.

Peux-tu montrer que $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ est non diagonalisable ?

Bonjour Colas, oui je peux.
Cette matrice admet pour unique valeur propre 0, et le sous-espace propre associé est E₀=Vect{(1 0)}
Et on a : dim(E₀) = 1
Donc cette matrice est non diagonalisable.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.

Petite astuce d'étudiant : en cherchant "exercices matrices inversibles/diagonalisables" sur ton moteur de recherche favori, tu devrais pouvoir trouver plusieurs centaines d'exercices, et donc plusieurs centaines d'exemples ou de contrexemples

Sinon, j'dis ça j'dis rien, mais 100% des matrices non carrées sont ni inversibles, ni diagonalisables

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !

bonsoir,

un exemple simple de matrice non diagonale mais diagonalisable : prendre n'importe quelle matrice triangulaire supérieure non diagonale avec sur la diagonale des scalaires 2 à 2 distincts.
Et chaque sous-espace propre est de dimension 1.
Par ailleurs, si l'un de ces scalaires est nul, la matrice est non inversible.

L'exemple donné par Colas est une matrice nilpotente. Et la seule matrice nilpotente diagonalisable est la matrice nulle.

Si le théorème est dans le programme ECE, toute matrice symétrique réelle est diagonalisable.

Toute symétrie, c'est-à-dire application linéaire $s$ vérifiant $s\circ s=Id_n$ est inversible.

Une matrice triangulaire supérieure non diagonale et dont tous les coefficients diagonaux sont égaux n'est pas diagonalisable.

La matrice $\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}$ pour $a$ réel est-elle inversible ?

Si oui combien vaut son inverse ?

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