Corps des fractions complet

$A=\Bbb{Z}$ a la propriété de la plus petite borne supérieure mais pas $Frac(A)$.

Si on suppose que $A$ a la propriété de la plus petite borne supérieure et est dense dans $Frac(A)$ (que pour $b >0\in Frac(A), \exists a \in A, 0 < a < b$) alors on doit avoir $A= Frac(A)$ ?

Cela dit la complétion pour une valeur absolue est beaucoup plus simple (et je ne comprends pas bien pourquoi les coupures de Dedekind sont enseignés comme construction de $\Bbb{R}$ en première année de fac).

reuns : $\Z$ n'est pas dense dans lui-même, donc ne constitue pas de contrexemple.
Par ailleurs ton deuxième commentaire n'est pas vrai : si je prends $\R[X]$ mais cette fois avec $X$ infiniment petit, alors $\R[X]$ est bien dense dans $\R(X)$ mais ne lui est pas égal.

Bonsoir,
@side, je ne comprends pas pourquoi $\mathbb{Z}$ n'est pas dense dans lui même avec la distance la valeur absolue je présume.
merci et bonne soirée.

Titi: n'importe quelle suite $(c_n)$ ne marchera pas, par exemple avec $c_n=1$, ça converge vers $\frac{X}{X-1}$. Par contre intuitivement si la série $\sum_n c_n z^n$ a un rayon de convergence nul, alors $\sum_n \frac{c_n}{X^n}$ ne devrait pas converger vers une fraction rationnelle. Enfin c'est mon intuition. De là à le prouver, vu que ça ne marche pas pour toute suite $(c_n)$ ça veut dire que si j'ai raison il y aura des arguments analytiques à la clé...

Comment tu prouves que ta suite ne converge pas vers une fraction rationnelle ? (tu écris "converge vers $\exp (\frac{1}{X})$ : dans quel sens, dans quel anneau, avec quelle topologie ?)

Juste une remarque. Ce serait bien d'avoir des exemples de tels anneaux.

Si $A$ est archimédien, par un théorème d'unicité célèbre, $K$ est isomorphe à $\mathbf R$ comme anneau ordonné (et via un unique isomorphisme). Est-il possible d'écrire $\mathbf R$ comme le corps des fractions d'un anneau complet $A$ strictement contenu dans $\mathbf R$ ? Visiblement non : un tel sous-anneau est un particulier un sous-groupe et il ne peut ni être discret (sinon ${\rm Frac}(A)\not= {\mathbf R}$), ni dense (sinon $A={\bar A} = {\mathbf R}$). Rappelons que tout sous groupe additif de $\mathbf R$ est discret ou dense.

Pour avoir des exemples non triviaux, il faut alors regarder des corps $K$ complets totalement ordonnés non archimédiens. Ceux-ci ne peuvent être localement compacts, car par un résultat classique tout corps complet localement compact non discret est isomorphe à $\mathbf R$, $\mathbf C$, ou une extension finie d'un ${\mathbf Q}_p$ (A. Weil, Basic number theory, chap. 1).

Il y a des choses intéressantes dans Wikipédia sur les corps ordonnés non archimédiens (voir la page "Non archimedean ordered field") :

https://en.wikipedia.org/wiki/Non-Archimedean_ordered_field

En particulier, elle renvoie à l'ouvrage :

Counterexamples in Analysis by Bernard R. Gelbaum and John M. H. Olmsted, Chapter 1, Example 7, page 17.

qui donne un exemple de corps ordonné non archimédien et complet (au sens des suites de Cauchy). On prend $K={\mathbf R}(X)$ que l'on ordonne de la façon suivante : une fraction rationnelle non nulle $P/Q$ est positive si les coefficients dominants de $P$ et $Q$ ont même signe. $K$ n'est pas complet, mais son complété pour la valeur absolue naturelle ${\bar K}$ est complet ordonné non archimédien. Algébriquement $\bar K$ est isomorphe au corps des séries de Laurent ${\mathbf R}((X))$. Ce corps est intéressant car bien que complet, contrairement à $\mathbf R$, il ne satisfait pas à l'axiome de la borne inférieure

P.S. Une version pdf du livre de Gelbaum et Olmsted circule sur l'internet.

Palabra : si je ne me méprends pas, en français on dit "stationnaire" (eventually est un faux-ami de "éventuellement")

Bonjour,
une idée... on recherche un anneau qui vérifie certaines propriétés, je "propose" l'anneau des fractions rationnelles (on reste des fonctions de R dans R écrites sous forme de quotient de polynômes)
muni de l'ordre suivant, (déjà est-ce que c'est un ordre total... je ne sais pas je n'ai pas eu le temps de vérifier)


il s'agit de comparer deux fractions rationnelles:
soient f et g,
on les compare de la façon suivante:
les fonctions au voisinage de +l'infini:
a priori sur un intervalle [a,+infini[ f et g il y en a forcément l'une au dessus de l'autre
(et ça se préserve si on prend un a plus grand je pense)

Est- ce que c'est déjà un ordre total ?

autre question:
est ce que que cet espace en lui même est complet ?
(on peut imaginer que exp(-x) fasse parti de l'espace complété... mais que exp(x) n'en fasse pas partie) )

bref des questions ouvertes pour moi

(désolé je devrais bosser ces choses la moi-même, mais là je n'ai pas le temps)
si vous avez une réponse toute faite là de suite je suis preneur.
Bonne journée.

Ah, je n'avais pas vu qu'un contre exemple avait déjà été trouvé.

En ce qui concerne les notions de complétude, coupures de Dedekind et suites de Cauchy, on peut faire plusieurs remarques générales:

Un corps ordonné est naturellement muni d'une valuation dite valuation naturelle. En tant que corps valué, il est sujet à la notion de complétude suivante: un corps valué est complet s'il n'admet aucune extension (de corps valué) dense (pour la topologie de la valuation) propre.
Cette notion de complétude est particulière en ce que tout corps archimédien est complet.

Un corps ordonné est naturellement muni d'une structure uniforme (cf Bourbaki de topologie), pour laquelle on peut alors parler de complétude au sens de convergence des filtres de Cauchy. Il se trouve que pour les corps ordonnés, on peut se passer de filtres et parler de suites (généralisées, indexées par les ordinaux) de Cauchy au sens où $u: \lambda \rightarrow \mathbf{K}$ est de Cauchy si elle satisfait $\forall \varepsilon \in \mathbf{K}^{>0},\exists \alpha < \lambda,\forall \beta,\gamma < \lambda, \alpha\leq \beta,\gamma \longrightarrow \operatorname{d}_{\mathbf{K}}(u(\beta),u(\gamma))<\varepsilon$.
En fait, le seul ordinal $\lambda$ qui joue un rôle est la cofinalité de $\mathbf{K}$ qui est le plus petit ordinal se plongement cofinalement dans $(\mathbf{K},<)$. En particulier, c'est $\omega$ si $\mathbf{K}$ est archimédien, d'où les suites de Cauchy classiques.
Un inconvénient de l'approche séquentielle est qu'elle nécessite l'axiome du choix.


Enfin, on peut parler de coupures de Dedekind sur $\mathbf{K}$, mais c'est seulement lorsque $\mathbf{K}$ est archimédien que ces coupures forment une structure de corps. Dans le cas général il ne faut choisir que les coupures $(A,B)$ où il existe des éléments $(a,b) \in A \times B$ tels que $\operatorname{d}_{\mathbf{K}}(a,b)$ est aussi petite que l'on veut. Ces coupures correspondent justement aux suites de Cauchy sans limites et les définitions de Dedekind pour l'ordre, l'addition et la multiplication de coupures fonctionnent.
Est alors complet tout corps ordonné sans coupures dans ce sens plus précis.


Ces trois approches (ou quatre si l'on distingue filtres et suites généralisées) coïncident, au cas archimédien près pour la première. Elles proposent notamment différentes constructions du "complété" d'un corps ordonné. Le complété de $\mathbf{K}$ étant son unique extension dense complète. C'est une construction fonctorielle avec de jolies propriétés initiale / finale dans des catégories d'extensions.
La première approche construira ce complété comme ensemble de séries formelles, la seconde comme espace de filtres ou de suites généralisées (quotienté), et la dernière comme ensemble de coupures.