Matrice stochastique

supp

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Bonsoir,
a-t-on le droit d'utiliser le fait que A est combinaison linéaire positive de matrices de permutation ?

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J'ai une solution compliquée issue des chaînes de Markov. Le graphe orienté associé à $A$ a $1,2,\ldots,n$ pour sommets et les $(ij)$ tels que $a_{ij}>0$ pour arêtes. On ecrit $iSj$ s'il existe un chemin de $i$ à $j $ et on écrit $iRj$ si $iSj$ et $jSi$. $R$ est une relation d’équivalence de classes $C_1, \ldots ,C_N$ et chacune a une période $d_1,\ldots, d_N$ de ppcm $r$ si bien que $A^r$ est stochastique aussi avec des classes [plus fines mais toutes de période 1.

On ecrit $C_aSC_b$ s'il existe $i\in C_a$ et $j\in C_b$ tels que $iSj$ et c'est une relation d'ordre partiel entre les classes. Notons $C_1,\ldots, C_K$ les maximales dites récurrentes et $C_{K+1},\ldots,C_N$ les autres, dites transientes.

Si $A$ n'a qu'une classe et de plus apériodique, alors $A^n$ tend vers la matrice $L$ de rang 1 dont toutes les lignes sont égales à $\pi_1,\ldots, \pi_n$ où $\pi A=\pi$ (je reviens sur ce point crucial plus tard... dans un autre post). Alors en particulier$ LA=AL=L.$

Revenons au cas général $A$ est triangulaire par blocs donnes par les $C_1, \ldots ,C_N$ ainsi que $A^r$ et donc $A^{nr}$ tend vers une matrice triangulaire $L$ dont les blocs diagonaux sont nuls pour $k>K$ et sont $ L_1,\ldots, L_K$ de rang 1 pour les classes récurrentes avec la forme décrite ci-dessus. Elle satisfait $ A^rL=L$.

Répondons enfin à la question : il s'agit de montrer que si $y$ est à la fois dans le noyau et dans l'image de $I-A$ alors $y$ est nul.
$(I-A)y=0$ entraîne $A^{nr}y=y$. Ensuite, $y$ dans l'image entraîne $y=(I-A)x$ pour quelque $x,$ qui entraîne $y=A^n y=A^nx-A^{n+1 }x$ et donc $$

ry=A^{nr}x-A^{(n+1)r}x\to Lx-Lx=0.$$

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Salut,
Dans le cas complétement connexe: Tonm avait cité le théorème de Perron-Frobenius avant modification de son message, en ajoutant le fait que le rayon spectral d'une matrice stochastique est de 1, ça fonctionnait aussi (1 est alors racine simple du polynôme minimal de $A$), cela dit, vu que le théorème de Perron-Frobenius, ça ne s'invente pas comme ça (pour le rayon spectral, en revanche, ça se fait simplement), la réponse de side est mieux.
P., pense à nous en dire un peu plus sur la propriété de $L$, s'il-te-plaît (en effet, c'est important, tu as dit que tu y reviendrais et je ne sais pas les autres, mais moi, je reste un peu sur ma faim).

supp

(tu)(tu)(tu)