Matrice stochastique
Bonjour
Voici une question posée cash sans intermédiaire :
Soit A une matrice carrée de format n à coefficients réels, avec A stochastique.
Montrer que Ker(A-I) = Ker((A-I)²).
Un coup de pouce ? Je sais que 1 est valeur propre de A et c'est à peu près tout....
Merci par avance et bonne journée !
gauss
Voici une question posée cash sans intermédiaire :
Soit A une matrice carrée de format n à coefficients réels, avec A stochastique.
Montrer que Ker(A-I) = Ker((A-I)²).
Un coup de pouce ? Je sais que 1 est valeur propre de A et c'est à peu près tout....
Merci par avance et bonne journée !
gauss
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Réponses
L'égalité des deux sev résulte du fait que $k\mapsto A^k$ est bornée.
j__j
ton calcul est <<génériquement>> exact mais échoue dans des cas particuliers (présence de $1$ dans la diagonale).
Cordialement, j__j
a-t-on le droit d'utiliser le fait que A est combinaison linéaire positive de matrices de permutation ?
On ecrit $C_aSC_b$ s'il existe $i\in C_a$ et $j\in C_b$ tels que $iSj$ et c'est une relation d'ordre partiel entre les classes. Notons $C_1,\ldots, C_K$ les maximales dites récurrentes et $C_{K+1},\ldots,C_N$ les autres, dites transientes.
Si $A$ n'a qu'une classe et de plus apériodique, alors $A^n$ tend vers la matrice $L$ de rang 1 dont toutes les lignes sont égales à $\pi_1,\ldots, \pi_n$ où $\pi A=\pi$ (je reviens sur ce point crucial plus tard... dans un autre post). Alors en particulier$ LA=AL=L.$
Revenons au cas général $A$ est triangulaire par blocs donnes par les $C_1, \ldots ,C_N$ ainsi que $A^r$ et donc $A^{nr}$ tend vers une matrice triangulaire $L$ dont les blocs diagonaux sont nuls pour $k>K$ et sont $ L_1,\ldots, L_K$ de rang 1 pour les classes récurrentes avec la forme décrite ci-dessus. Elle satisfait $ A^rL=L$.
Répondons enfin à la question : il s'agit de montrer que si $y$ est à la fois dans le noyau et dans l'image de $I-A$ alors $y$ est nul.
$(I-A)y=0$ entraîne $A^{nr}y=y$. Ensuite, $y$ dans l'image entraîne $y=(I-A)x$ pour quelque $x,$ qui entraîne $y=A^n y=A^nx-A^{n+1 }x$ et donc $$
ry=A^{nr}x-A^{(n+1)r}x\to Lx-Lx=0.$$
Si et je crois (ma faute) la matrice est à coefficients $\ge 0$ et ce n'est pas fait pour moi.
Cordialement.
Dans le cas complétement connexe: Tonm avait cité le théorème de Perron-Frobenius avant modification de son message, en ajoutant le fait que le rayon spectral d'une matrice stochastique est de 1, ça fonctionnait aussi (1 est alors racine simple du polynôme minimal de $A$), cela dit, vu que le théorème de Perron-Frobenius, ça ne s'invente pas comme ça (pour le rayon spectral, en revanche, ça se fait simplement), la réponse de side est mieux.
P., pense à nous en dire un peu plus sur la propriété de $L$, s'il-te-plaît (en effet, c'est important, tu as dit que tu y reviendrais et je ne sais pas les autres, mais moi, je reste un peu sur ma faim).
on peut démontrer calculatoirement que si $B$ une matrice à diagonale négatif et positif autrement avec une somme nulle pour chaque ligne et ayant un vecteur $x\neq 0$ autre que $e=(1,\ldots,1)$ avec $B^n x=0 $ ; ça impliquerait une forme particulière de $B$ ($B$ nul etc)
$n=3$ c'est vrai ? Là on n'a que $n=2$ dans l'énoncé.
Bon je pense que side l'a fermé.
Cet exo je l'ai trouvé dans un recueil d'exo de CPGE bac +2, donc je pense que c'est ce qu'ils attendaient !
bonne soirée
gauss