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Matrice stochastique

Envoyé par gauss 
Matrice stochastique
il y a trois mois
Bonjour
Voici une question posée cash sans intermédiaire :

Soit A une matrice carrée de format n à coefficients réels, avec A stochastique.
Montrer que Ker(A-I) = Ker((A-I)²).

Un coup de pouce ? Je sais que 1 est valeur propre de A et c'est à peu près tout....
Merci par avance et bonne journée !
gauss



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: matrice stochastique
il y a trois mois
Bonjour,

Calculez le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 (montrez qu'il est de dimension 1) puis conclure.
Re: matrice stochastique
il y a trois mois
De dimension $1$ ? Si $A=Id$...

L'égalité des deux sev résulte du fait que $k\mapsto A^k$ est bornée.

j__j
Re: matrice stochastique
il y a trois mois
ah oui,

il me semblait avoir examiné l'égalité $AX=\lambda X$ et avoir considéré une composante $X_i$ qui maximise la norme infinie de $X$, puis montré que toutes les composantes étaient égales.
Mais pas de doute, mon calcul est forcément faux puisque comme le souligne John_John, $A=I$ (ainsi que toute matrice stochastique qui a des $1$ sur la diagonale principale) fournit un contre-exemple à ce calcul.
Re: Matrice stochastique
il y a trois mois
Bonsoir, Side,

ton calcul est <<génériquement>> exact mais échoue dans des cas particuliers (présence de $1$ dans la diagonale).

Cordialement, j__j
Re: Matrice stochastique
il y a trois mois
Bonsoir,
a-t-on le droit d'utiliser le fait que A est combinaison linéaire positive de matrices de permutation ?
Re: Matrice stochastique
il y a trois mois
@callpiger
une matrice stochastique n'est pas en général combinaison linéaire positive de matrice de permutation, ie (CNS) dans l'enveloppe convexe des matrices de permutation.
En effet, si une matrice stochastique était dans l'enveloppe convexe des matrices de permutation alors sa transposée serait stochastique (matrice bi-stochastique).

ex matrice $M$ avec $m_{11}=1/3$, $m_{12}=2/3$, $m_{21}=m_{22}=1/2$ est stochastique, mais ne peut être combinaison linéaire positive de matrices de permutation.
Re: Matrice stochastique
il y a trois mois
@johnjohn
Merci pour ce retour.
Je n'ai pas repris cet exercice, mais je regarderai attentivement où mon calcul échoue.
P.
Re: Matrice stochastique
il y a trois mois
callipiger, une matrice stochastique n'est pas necessairement bistochastique.
P.
Re: Matrice stochastique
il y a trois mois
J'ai une solution compliquée issue des chaînes de Markov. Le graphe orienté associé à $A$ a $1,2,\ldots,n$ pour sommets et les $(ij)$ tels que $a_{ij}>0$ pour arêtes. On ecrit $iSj$ s'il existe un chemin de $i$ à $j $ et on écrit $iRj$ si $iSj$ et $jSi$. $R$ est une relation d’équivalence de classes $C_1, \ldots ,C_N$ et chacune a une période $d_1,\ldots, d_N$ de ppcm $r$ si bien que $A^r$ est stochastique aussi avec des classes [plus fines mais toutes de période 1.

On ecrit $C_aSC_b$ s'il existe $i\in C_a$ et $j\in C_b$ tels que $iSj$ et c'est une relation d'ordre partiel entre les classes. Notons $C_1,\ldots, C_K$ les maximales dites récurrentes et $C_{K+1},\ldots,C_N$ les autres, dites transientes.

Si $A$ n'a qu'une classe et de plus apériodique, alors $A^n$ tend vers la matrice $L$ de rang 1 dont toutes les lignes sont égales à $\pi_1,\ldots, \pi_n$ où $\pi A=\pi$ (je reviens sur ce point crucial plus tard... dans un autre post). Alors en particulier$ LA=AL=L.$

Revenons au cas général $A$ est triangulaire par blocs donnes par les $C_1, \ldots ,C_N$ ainsi que $A^r$ et donc $A^{nr}$ tend vers une matrice triangulaire $L$ dont les blocs diagonaux sont nuls pour $k>K$ et sont $ L_1,\ldots, L_K$ de rang 1 pour les classes récurrentes avec la forme décrite ci-dessus. Elle satisfait $ A^rL=L$.

Répondons enfin à la question : il s'agit de montrer que si $y$ est à la fois dans le noyau et dans l'image de $I-A$ alors $y$ est nul.
$(I-A)y=0$ entraîne $A^{nr}y=y$. Ensuite, $y$ dans l'image entraîne $y=(I-A)x$ pour quelque $x,$ qui entraîne $y=A^n y=A^nx-A^{n+1 }x$ et donc $$

ry=A^{nr}x-A^{(n+1)r}x\to Lx-Lx=0.$$



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par P..
Re: Matrice stochastique
il y a trois mois
avatar
Salut, je pense que c'est faux? si $(A-I)=\begin{pmatrix}a&-a\\a&-a\end{pmatrix} $ (si $A$ à coefficients réels)
Si et je crois (ma faute) la matrice est à coefficients $\ge 0$ et ce n'est pas fait pour moi.
Cordialement.



Edité 5 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Matrice stochastique
il y a trois mois
Bonjour
Calcul du sous-espace propre associé à la valeur propre $1$ dans le cas où $\forall i,j,~ a_{ij} >0$ (1)

$1$ est valeur propre de $A$ (considérez le vecteur de composante $U=(1,1,\ldots,1)$
Soit $X$ vecteur propre de $A$ et $i_0$ indice tel que $|x_{i_0}|=||X||_{\infty}>0$
On a $||X||_{\infty}=|x_{i_0}|=|\sum a_{i_{0}j}x_j| \leq \sum a_{i_{0}j}|x_j| \leq \sum a_{i_{0}j}||X||_{\infty}=||X||_{\infty}.$

Le membre de droite est égal au membre de gauche donc toutes ces inégalités sont des égalités. On montre successivement que tous les $x_j$ sont de même signe, puis égaux à $||X||_{\infty} $ donc $X$ est proportionnel à $U$ et donc $\ker (A-I) $ est de dimension 1 et égal à $Vect(U) $.

NB. On est encore loin d'avoir montré l'égalité demandée sous l'hypothèse (1).

[$\LaTeX$ fournit les commandes \leq : $\leq$ et \geq : $\geq$. winking smiley AD]


Post publication : merci AD



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par side.
P.
Re: Matrice stochastique
il y a trois mois
La demonstration de side fournit la demonstration elementaire du point qui me manquait: si le graphe associe a $A$ est connexe et aperiodique alors ta jolie demonstration s'adapte pour montrer que tous les $x_i$ sont egaux a $\|X|\|_{\infty}.$
Re: Matrice stochastique
il y a trois mois
Salut,
Dans le cas complétement connexe: Tonm avait cité le théorème de Perron-Frobenius avant modification de son message, en ajoutant le fait que le rayon spectral d'une matrice stochastique est de 1, ça fonctionnait aussi (1 est alors racine simple du polynôme minimal de $A$), cela dit, vu que le théorème de Perron-Frobenius, ça ne s'invente pas comme ça (pour le rayon spectral, en revanche, ça se fait simplement), la réponse de side est mieux.
P., pense à nous en dire un peu plus sur la propriété de $L$, s'il-te-plaît (en effet, c'est important, tu as dit que tu y reviendrais et je ne sais pas les autres, mais moi, je reste un peu sur ma faim).
Re: Matrice stochastique
il y a trois mois
En suivant l'idée de John_John :
1) la suite $(|||A^p|||)$ est bornée dans $M_n(R)$ (en considérant par exemple la norme triple subordonnée à la norme infinie)
2) on considère le sous-espace caractéristique $F$ associé à la valeur propre 1, et l'endomorphisme induit : on considère l'endomorphisime $u$ de matrice $A$ dans la base canonique, puis l'endomorphisme $v$ induit sur $F$.
On a $v=id_F+n$ où $n$ est un endomorphisme nilpotent de $L(F) $, avec la suite $(v^p)$ bornée (utiliser l'expression de $u$ dans une base adaptée à la somme directe : voir parenthèse à la fin du post)

Supposons $n$ non nul
Si $k$ est l'indice de nilpotence de $n$ il est facile de montrer que la famille $L=(id_F, n, n^2,...n^{k-1}) $ est une famille libre de $L(F) $, puis en écrivant $v^p$ suivant la famille libre $L$ en utilisant la formule du binôme, tous les coefficients doivent être bornés car $(v^p) $ est bornée, et le calcul montre qu'on a une contradiction.
Donc $n=0$, donc le sous-espace $F$ est égal au sous-espace propre $ker(A-I) $.


Ensuite je ne sais plus si c'est un résultat classique ou pas mais on déduit le résultat demandé. Si ça n'est pas classique, alors on le montre par exemple en considérant la suite $(Ker(A-I)^k), k\geq 1$ qui est croissante pour l'inclusion et convergente vers le sous-espace caractéristique. Donc ici, on a une suite constante et les termes $k=1$ et $k=2$ donnent l'égalité à prouver.

(si $P$ est le polynôme caractéristique de $A$ on écrit $A=(X-1)^{\alpha}Q$ avec $Q(1)$ différent de 0, et on utilise le lemme des noyaux, puis on considère une base adaptée à la somme directe des 2 sous-espaces des polynômes en $u$ correspondant et qui sont stables par $A$. En considérant la matrice de $u$ dans cette base, on montre facilement que la suite $(v^p) $ est bornée).
Re: Matrice stochastique
il y a trois mois
Autre démonstration beaucoup plus élémentaire.

Soit $X\in \ker (A-I) ^2$
On calcule $A^nX$ : on effectue la division euclidienne de $t^n$ par $(t-1)^2$, on trouve $t^n=(t-1)^2 Q(t) +nt+(1-n)$ d'où $A^n X=n(AX-X) +X$ et comme la suite $A^n X$ est bornée on déduit $AX=X$ c'est-à-dire $X\in \ker(A-I) $ et donc $\ker(A-I)^2$ inclus dans $\ker (A-I)$.
L'inclusion inverse est triviale.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par side.
Re: Matrice stochastique
il y a trois mois
avatar
En fait je voudrais dire :
on peut démontrer calculatoirement que si $B$ une matrice à diagonale négatif et positif autrement avec une somme nulle pour chaque ligne et ayant un vecteur $x\neq 0$ autre que $e=(1,\ldots,1)$ avec $B^n x=0 $ ; ça impliquerait une forme particulière de $B$ ($B$ nul etc)

$n=3$ c'est vrai ? Là on n'a que $n=2$ dans l'énoncé.

Bon je pense que side l'a fermé.



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Matrice stochastique
il y a trois mois
ok side, excellent et bravo pour la solution !

Cet exo je l'ai trouvé dans un recueil d'exo de CPGE bac +2, donc je pense que c'est ce qu'ils attendaient !

bonne soirée

gauss
Re: Matrice stochastique
il y a trois mois
@gauss, merci mais je n'ai fait que suivre l'indication de John_John.
Je n'avais pas pensé à exploiter cette idée.
P.
Re: Matrice stochastique
il y a trois mois
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