Simplicité du groupe alterné
Bonjour,
je bosse actuellement sur la simplicité du groupe alterné pour $n \ge 5$. J'ai compris toutes les étapes sauf la première qui consiste à montrer que $H$ contient un élément dont le support est inférieur ou égal à 5 (où $H$ est un sous-groupe distingué de $\mathfrak A_n$). Je ne comprends pas l'idée de la construction d'un tel élément: On prend $\sigma \neq id$ et $\gamma = (x,z,y)$ un 3-cycle dans le groupe alterné tel que $y=\sigma (x)$ qui ne commute pas à $\sigma$. On prend ensuite le commutateur $\sigma '$ et on voit que c'est l'élément cherché : son support est formé d'au plus 5 éléments. Je ne vois pas du tout pourquoi on a choisi $\sigma$ ainsi et $\gamma = (x,z,y)$ un 3-cycle dans le groupe alterné tel que $y=\sigma (x)$ : je ne comprends pas et j'imagine qu'il doit y avoir une raison de choisir les éléments de cette façon là (ce qui permettrait de s'en rappeler beaucoup plus facilement !)
Merci pour votre aide !
je bosse actuellement sur la simplicité du groupe alterné pour $n \ge 5$. J'ai compris toutes les étapes sauf la première qui consiste à montrer que $H$ contient un élément dont le support est inférieur ou égal à 5 (où $H$ est un sous-groupe distingué de $\mathfrak A_n$). Je ne comprends pas l'idée de la construction d'un tel élément: On prend $\sigma \neq id$ et $\gamma = (x,z,y)$ un 3-cycle dans le groupe alterné tel que $y=\sigma (x)$ qui ne commute pas à $\sigma$. On prend ensuite le commutateur $\sigma '$ et on voit que c'est l'élément cherché : son support est formé d'au plus 5 éléments. Je ne vois pas du tout pourquoi on a choisi $\sigma$ ainsi et $\gamma = (x,z,y)$ un 3-cycle dans le groupe alterné tel que $y=\sigma (x)$ : je ne comprends pas et j'imagine qu'il doit y avoir une raison de choisir les éléments de cette façon là (ce qui permettrait de s'en rappeler beaucoup plus facilement !)
Merci pour votre aide !
Réponses
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Peut-être est-il utile de remarquer que la plupart des éléments ont la même image par $\gamma\sigma^{-1}\gamma^{-1}$ que par $\sigma^{-1}$ (lesquels et pourquoi ?). Pour ceux-là, il est facile de calculer l'image par $\sigma\gamma\sigma^{-1}\gamma^{-1}$.
Erratum : ajout d'un inverse. -
Oui, mais où veux-tu en venir ? Je ne vois toujours pas l'idée...
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Faute de frappe rectifiée. Eh bien, pour tout $z$ tel que $\gamma\sigma^{-1}\gamma^{-1}(z)=\sigma^{-1}(z)$, ledit $z$ est un point fixe du commutateur. Il me semble à peu près clair que c'est le cas pour $n-6$ éléments au moins ; si on en choisit un dernier avec soin, on va en ajouter un de plus, si bien que le support du commutateur est de cardinal $5$ au plus.
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Bonjour,
après quelques recherches, voici comment j'ai compris les choses.
On commence par prendre $\sigma \neq id$ dans $H$ : on peut faire ça car on a supposé $H \neq id$. On prend ensuite un 3-cycle $(x,y,z)$. L'idée de prendre un 3-cycle est justifiée par le fait que ce dernier est dans le groupe alterné $\mathfrak A_n$. Donc grâce à ça le commutateur sera toujours dans $H$ car $H$ est distingué dans $\mathfrak A_n$. En calculant le commutateur $\sigma '$, on s'aperçoit qu'il vaut: $(\sigma (x) \hspace{0.1cm} \sigma(y) \hspace{0.1cm} \sigma(z)) (x \hspace{0.1cm} y \hspace{0.1cm} z)$.
Le support de $\sigma '$ vaut donc {$\sigma (x),\sigma(y),\sigma(z), x ,y ,z$}. Mais comme $\sigma \neq id$ il existe $x$ tel que $\sigma (x)=y$ avec $y \neq x$. De cette façon là on arrive à enlever un élément du support de $\sigma '$ et donc maximiser les points fixes. C'est ce qu'on peut faire de mieux avec les hypothèses actuelles.
Est-ce que mon raisonnement tient la route ?
Merci ! -
Si ça ne choque personne, c'est quoi ça doit être bon :-)
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Attention, ton calcul du support est erroné : tu as uniquement que le support de $\sigma '$ est inclus dans ce que tu dis. Mais évidemment ça suffit car tu as choisi ton cycle de sorte à ce qu'il ne commute pas à $\gamma$, donc le support de $\sigma '$ est de taille au plus $5$ et au moins $1$ (enfin, au moins $2$ puisqu'il n'y a pas de permutation à support de taille $1$)
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Merci
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Je reviens sur le topic étant donné qu'il y a un détail qui m'a échappé dans la preuve du Rombaldi (algèbre pour l’agrégation interne et externe)
En effet, pour montrer la dernière étape, c'est-à-dire montrer que $H$ contient un 3-cycle, il traite 3 cas.
1er cas: $\sigma '$ est un 3-cycle dans ce cas c'est terminé.
2è cas: $\sigma '$ est un un produit de deux transpositions: $\sigma ' = (x_1 x_2)(x_3 x_4)$
Il prend $x_5$ qui n'est pas dans $\{x_1,x_2,x_3,x_4\}$ et il construit l'élément $\sigma ''$ à partir de $\sigma '$ en faisant:
$\sigma ''= (x_1 x_5) \sigma ' (x_1 x_5) \sigma '^{-1}$ et il affirme sans justification (avant de montrer que c'est un 3-cycle) que cet élément est dans $H$. Mais je ne suis pas d'accord car $ (x_1 x_5) $ n'est pas dans le groupe alterné, donc on ne peut pas se servir du fait que $H$ est distingué dans $\mathfrak A_n$ pour affirmer que $\sigma ''$ est dans $H$... je me trompe ?
3è cas: $\sigma '$ est un 5-cycle , il fabrique $\sigma ''$ comme au deuxième cas. -
Sauf erreur $\sigma ''= (x_1 x_5) \sigma ' (x_1 x_5) \sigma '^{-1}$ est un commutateur donc dans $\mathfrak A_n$.
Alain -
Mais qu'est-ce qui garantit qu'il est dans $H$ ?
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Triche : si $n\ge7$, il n'y a qu'à choisir $x_6$ et $x_7$ hors de $\{x_1,\dots,x_5\}$ et remplacer $(x_1x_5)$ par $(x_1x_5)(x_6x_7)$.
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Voila justement, c'est pour cela que j'avais un doute sur la preuve du Rombaldi ! Pour ceux qui l'ont c'est page 52-53... peut-être qu'il y a un détail dans sa preuve que j'ai loupé...
Dommage car la preuve était courte et compréhensible jusque là, elle aurait donc très bien pu tenir en 15 minutes... -
Je confirme ce que j'avais dit ! La preuve n'était pas claire d'après le errata du livre disponible au lien suivant (page 53 théorème 2.20):
effectivement il ne prend plus une transposition mais un 3-cycle !
https://mathsrombaldi.pagesperso-orange.fr/Livres/ErrataAlgGeomAgregSept17.pdf
Merci ! -
Je réagis à ce fli: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1822154,1822154#msg-1822154
où un étudiant semble s'embourber dans des documents trop fouillis. J'ai moi-même regardé, en voyant son fil, les pdf qu'on trouve, mais il y a des tas de "preuves snobes" qui utilisent "Sylow et cie", et donc renvoient à des connaissances, alors que WIKIPEDIA donne un argument très simple de quelques lignes.Pourquoi aller chercher 4 pages quand on a 5 lignes?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Une question d'ISSN, sans doute.
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