D'où vient l'erreur ?

Bonjour;
Soit $C_n$ un groupe cyclique d'ordre $n$ engendré par $\sigma$ et $G$ un groupe quelconque, on désigne par $Hom(C_n,G)$ l'ensemble des morphismes de groupes de $C_n$ vers $G$, sur lequel on peut prolonger la loi de $G$ de la façon suivante : $(fg)(x):=f(x)g(x)$, il s'agit bien d'un groupe, l'élément neutre étant le morphisme trivial, le symétrique d'un élément $f\in Hom(C_n,G)$ est le morphisme $g(x):=f(x^{-1})$ (on vérifie que $g$ est un morphisme par commutativité de $C_n$), introduisons l'application $\phi:Hom(C_n,G)\rightarrow G$ définie par $\phi(f):=f(\sigma)$, on vient de définir un morphisme de groupes, il est en plus injectif, et il est clair que son image est contenue dans $H:=\{x\in G\mid x^n=1\}$, mais alors le choix d'un élément quelconque $h$ de $H$ génère un morphisme de $C_n$ vers $G$ il suffit de considérer le morphisme $f:C_n\rightarrow G$ défini par $f(\sigma^k)=h^k$ pour tout $k$.

Je viens alors de constater que $Im(\phi)=H$, donc $H$ est un sous-groupe de $G$, cela signifie que pour tout groupe $G$, pour tout entier positif $n$, l'ensemble $\{x\in G\mid x^n=1\}$ est un sous-groupe de $G$, ou encore dans un groupe quelconque si $x$ et $y$ sont d'ordre divisant $n$ il en va de même pour $xy$, ce qui n'est pas vrai (composé de deux symétries axiales d'axes parallèles est une translation d'ordre infini) !!!

Bien cordialement