Endomorphisme non homothétie

Est-ce que c'est correct comme cela :

S'il existe $\lambda\in K$ tel que $F=\lambda\mathrm{Id}_{\mathcal L(E)}$ alors pour tout $f\in\mathcal L(E), F(f)=\lambda f$. Donc en particulier pour $f=\mathrm{Id}_E$ on trouve $\lambda=n+1$. Donc pour tout $f\in\mathcal L(E), \mathrm{tr}(f)\mathrm{Id}_E=nf$. Or en prenant $f$ canoniquement associé à la matrice avec des zéros partout sauf un en haut à droite, on a $0=nf$, ce qui est impossible car $n\neq 0$ et $f\neq 0$. Donc $F$ n'est pas une homothétie.