Endomorphisme non homothétie
dans Algèbre
Bonjour,
Soit $E$ un $K$-ev de dimension finie $n\geq 2$. Soit $F:\mathcal L(E)\rightarrow\mathcal L(E), F(f)=f+\mathrm{tr}(f)\mathrm{Id}_E$.
Je n'arrive pas à justifier que $F$ n'est pas une homothétie (j'ai essayé en vain par l'absurde).
Soit $E$ un $K$-ev de dimension finie $n\geq 2$. Soit $F:\mathcal L(E)\rightarrow\mathcal L(E), F(f)=f+\mathrm{tr}(f)\mathrm{Id}_E$.
Je n'arrive pas à justifier que $F$ n'est pas une homothétie (j'ai essayé en vain par l'absurde).
Réponses
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(Petite remarque sémantique : ce ne serait pas un raisonnement par l'absurde, juste la preuve d'une négation : tu veux prouver $\neg A$ donc tu supposes $A$)
Si $F(f) = \lambda f$ pour tout $f$, alors déjà avec $f = id_E$ tu peux déterminer $\lambda$. Il te suffit ensuite de prendre un morphisme non nul de trace nulle pour voir ce qu'il en est. -
@Démarrelesprobas essaie par l'absurde en considérant des $f$ de trace nulle.
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supp
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Bonsoir,
on peut également essayer avec un projecteur de rang 1.
bonne soirée.
(si F est une homothétie elle préserve le rang)(:P) -
Est-ce que c'est correct comme cela :
S'il existe $\lambda\in K$ tel que $F=\lambda\mathrm{Id}_{\mathcal L(E)}$ alors pour tout $f\in\mathcal L(E), F(f)=\lambda f$. Donc en particulier pour $f=\mathrm{Id}_E$ on trouve $\lambda=n+1$. Donc pour tout $f\in\mathcal L(E), \mathrm{tr}(f)\mathrm{Id}_E=nf$. Or en prenant $f$ canoniquement associé à la matrice avec des zéros partout sauf un en haut à droite, on a $0=nf$, ce qui est impossible car $n\neq 0$ et $f\neq 0$. Donc $F$ n'est pas une homothétie. -
supp
-
side : non, c'est bien $1+n$, la dimension de l'espace c'est $n$ ($n^2$ est la dimension de $L(E)$)
Il s'agit bien de prendre une base de $E$ et l'endomorphisme associé à la matrice mentionnée. -
supp
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Bonjour!
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