Sylow
Bonsoir à tous,
J'aimerais démontrer la propriété suivante, à partir du 1er théorème de Sylow (c'est un corollaire d'après le livre de Perrin) :
Si $|G|=p^\alpha m$, alors $G$ contient des sous-groupes d'ordre $p^i ~~ \forall i \leq \alpha$.
Je suis les conseils du livre de Perrin, qui me dit de procéder par récurrence forte sur $\alpha$, et utiliser le fait que les $p$-groupes ont un centre non trivial.
J'utilise donc le 1er théorème de Sylow pour montrer qu'il existe $S$ un $p$-Sylow de $G$. Donc $|S|=p^{\alpha+1}$.
Or le centre de $S$ est non trivial, donc il existe $x \in S$ tel que le groupe engendré par $x$, qu'on notera $H$ soit un sous-groupe distingué de $S$. De plus $H$ est d'ordre $p^\beta$ pour un $\beta \leq \alpha$. Je suppose $\beta < \alpha$ sinon le groupe $S$ est cyclique et c'est trivial.
Je pensais alors étudier $S/H$ et lui appliquer l'hypothèse de récurrence mais je ne vois pas comment continuer.
Ou bien je fais fausse route depuis le début...
Quelqu'un pour me débloquer ?
J'aimerais démontrer la propriété suivante, à partir du 1er théorème de Sylow (c'est un corollaire d'après le livre de Perrin) :
Si $|G|=p^\alpha m$, alors $G$ contient des sous-groupes d'ordre $p^i ~~ \forall i \leq \alpha$.
Je suis les conseils du livre de Perrin, qui me dit de procéder par récurrence forte sur $\alpha$, et utiliser le fait que les $p$-groupes ont un centre non trivial.
J'utilise donc le 1er théorème de Sylow pour montrer qu'il existe $S$ un $p$-Sylow de $G$. Donc $|S|=p^{\alpha+1}$.
Or le centre de $S$ est non trivial, donc il existe $x \in S$ tel que le groupe engendré par $x$, qu'on notera $H$ soit un sous-groupe distingué de $S$. De plus $H$ est d'ordre $p^\beta$ pour un $\beta \leq \alpha$. Je suppose $\beta < \alpha$ sinon le groupe $S$ est cyclique et c'est trivial.
Je pensais alors étudier $S/H$ et lui appliquer l'hypothèse de récurrence mais je ne vois pas comment continuer.
Ou bien je fais fausse route depuis le début...
Quelqu'un pour me débloquer ?
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Réponses
Il est plus simple de prendre $H$ d'ordre $p$ dans le centre de $S$. C'est toujours possible car si $x$ est d'ordre $p^\beta$ alors $y=x^{p^{\beta-1}}$ est d'ordre $p$ et engendre un sous-groupe $H$ d'ordre $p$.
Comme cet $H$ est dans le centre de $S$, il est distingué dans $S$.
Alors tu prends le quotient $S/H$ et le morphisme surjectif $\pi:S\to S/H$. Comme $S$ est d'ordre $p^{\alpha+1}$, le quotient $S/H$ est d'ordre $p^\alpha$, tu peux appliquer l’hypothèse de récurrence. $S/H$ contient donc des sous-groupes $K_i$ d'ordre $p^i,~0\leq i\leq \alpha$.
Alors tu considères $\pi^{-1}(K_i)$, c'est un sous-groupe de $S$ contenant $H$ et d'ordre $p^{i+1}$ (puisque $H$ est d'ordre $p$), $0\leq i\leq \alpha$. Ce qui, en ajoutant le sous-groupe trivial, te donne l'hypothèse de récurrence au rang $\alpha+1$ pour $S$, donc pour $G$. CQFD.