Radical de Jacobson

Bonjour
Soient $\begin{array}{ccccc}
f & : & A & \to & B
\end {array} $ un homomorphisme d'anneaux , $J $ un idéal de $B$ , $rad()$ est le radical de Jacobson de $()$ et $Idem()$ désigne les idempotents de $()$:
Les implications suivantes sont -elles justes ?
1) Si $J \subset rad(B) $ alors $f^{-1}(J) \subset rad(A)$
2) Si $J \subset Idem(B) $ alors $f^{-1}(J) \subset Idem(A)$

Remarque : (Ma réponse était NON sauf si $f$ est surjectif pour 1) et injectif pour 2) , ,j'aimerais savoir si je me suis trompé ou non )
Merci pour vos retours.

[Même dans le titre Nathan Jacobson (1910-1999) prend toujours une majuscule. AD]