Bonjour
[Soit] a un réel , montrer que si $\quad x^3+2ax^2+(a^2-1)x-2a=0~$ possède trois racines réelles $u,v,w$ alors elles sont [dans] $[-1;1].$
En déduire que $$|\arcsin(u)|+|\arcsin(v)|+|\arcsin(w)|=\pi.
Pour la première partie, regarde, étant donné $x$, s'il existe $a$ pour lequel $x$ est solution de l'équation (c'est juste le discriminant d'un trinôme du second degré à calculer).
Pour la seconde partie, je pense qu'on peut l'obtenir d'une manière assez artificielle en résolvant l'équation du second degré ci-dessus, en distinguant ensuite les trois racines suivant leur signe à elles et le signe qui donne $a$ dans la formule de résolution de l'équation du second degré (le signe devant le $\sqrt{\Delta }$), et ensuite en prenant deux des racines comme le sinus de leur Arcsin et en utilisant des formules de trigo, on doit pouvoir voir que le sinus (ou l'opposé) de la valeur qu'il faut donne bien le même $a$, donc correspond bien à la troisième racine.
Mais je me dis qu'il doit y avoir un argument plus naturel (et peut-être plus simple aussi).
Le discriminant réduit est positif ou nul
$(x^2-1)^2-x(x^3-x)=(1-x)(2x+1) \geq 0$
Donc $x$ c'est-à-dire $u,v,w$ sont dans $[-1/2;1]$
C'est curieux l'énoncé demande que ce soit dans $[-1;1]$
Je reprends le discriminant réduit
$(x^2-1)^2-x(x^3-1)=1-x^2$ qui doit être positif ou nul.
Donc $x$ c'est-à-dire $u,v,w$ sont bien dans $[-1;1]$.
Comment faire la seconde question ?
Merci.
[Quand tu cites un texte, tu pourrais ne pas réintroduire les fautes d'orthographes ! :-X AD]
[Revoir apparaître des fautes corrigées m'a agacé. Ce n'est pas grave. :-)
Quand tu corriges un message, veille à partir du message du forum et pas d'une copie avant correction que tu aurais conservée chez toi. ;-) AD]
Bonjour !
Je ne suis pas certain que le choix $a>0$ conduise à deux racines positives (des essais MAPLE montrent même le contraire).
De plus l'égalité des sinus n'est pas suffisante pour assurer l'égalité des réels...
Suggestion : il y a deux racines de même signe, $u,v$ et la relation à établir est
$(1)\qquad \arcsin|u|+\arcsin|v|=\pi-\arcsin|w|$
Le premier membre est dans $[0,\pi]$, le second dans $[\pi/2,\pi]$ de sorte que l'égalité des cosinus donne une relation équivalente.
Soit $(2)\qquad \sqrt{1-u^2}+\sqrt{1-v^2}+\sqrt{1-w^2}=|u|\,|v|=uv$ elle-même équivalente à l'égalité des carrés :
$(3)\qquad 2-(u^2+v^2+w^2)+2\sqrt{(1-u^2)(1-v^2)(1-w^2)}=0.$ Correction à 17:11 Merci @crapul !
Soit $(2)\qquad \sqrt{1-u^2}\,\sqrt{1-v^2}+\sqrt{1-w^2}=|u|\,|v|=uv$ elle-même équivalente à l'égalité des carrés :
$(3)\qquad 2-(u^2+v^2+w^2)+2\sqrt{(1-u^2)(1-v^2)(1-w^2)}=0.$
Comme $2-(u^2+v^2+w^2)=2-4a^2+2(a^2-1)=-2a^2$ on a la relation équivalente
$(4)\qquad \sqrt{(1-u^2)(1-v^2)(1-w^2)}=a^2$
Le calcul de $(1-u^2)(1-v^2)(1-w^2)$ est simple : ...AQT (âne qui trotte) comme aurait dit le regretté PAPEX...
@etanche, erreur typo : c’est $\sqrt{1-u^2} \times \sqrt{1-v^2} ...$ dans $(1)$ par application immédiate de l’identité $\cos(a+b)=...$
Je trouve la même démarche mais j’ai essayé une démonstration directe (qui ne suppose pas connue la relation donnée par l’énoncé) : c’est plus long et il faut connaître les relations $\arcsin a+\arcsin b=...$ par coeur - ce qui n’est pas courant.
Il y a une typo : dans $(2)$ le premier $+$ est un $\times$, et c'est obtenu comme le dit rakam en prenant les cosinus des deux côtés dans $(1)$. En prenant les carrés dans $(2)$ ainsi modifiée on tombe bien sur $(3)$.
edit : j'ai joué, j'ai perdu
Peut-être un argument un peu plus naturel, mais peut-être pas encore assez simple non plus. Si on prend trois nombres $\alpha $, $\beta $ et $\gamma $ dans $[- \frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2}]$, alors on peut écrire polynomialement sur leurs sinus le fait que leur somme vaut $\pi $, plus exactement la somme de leurs valeurs absolues fait $\pi $ (ou $0$ s'ils sont tous nuls) si et seulement si leurs sinus $u$, $v$, $w$ vérifient $u^4 + v^4 + w^4 - 2(u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2 ) + 4(u^2 v^2 w^2 ) = 0$. En écrivant ceci en fonction de leur polynômes symétriques élémentaires, on obtient $((S_1 )^2 - 2 S_2 )^2 - 4((S_2 )^2 - 2 S_1 S_3 ) + 4 (S_3 )^2 = 0$. On constate que si ce sont les racines du polynôme donné, où on a $S_1 = -2a$, $S_2 = a^2 - 1 $ et $S_3 = 2a$, l'équation est bien vérifiée et cela conclut.
Mais, bon, s'il y a un argument plus simple, je suis preneur.
Quand un néophyte comme moi s'intéresse aux quadrinômes rationnels du 3ème degré, il se rend compte très vite que les formules de Cardan ne sont absolument pas adaptées à la recherche des racines rationnelles des dits polynômes.
Il suffit pour s'en convaincre de constater qu'il est loin d'être immédiat de savoir si la somme des deux racines cubiques issues de ces formules est un rationnel, même quand il est aussi simple que 1. La méthode la plus simple que je connais est, si l'on ne se contente pas d'en calculer la valeur décimale avec un tableur quelconque, de reconstituer une équation du 3ème degré dont cette somme est la solution, puis de résoudre cette équation autrement !
J'ai donc été amené à chercher, puis à trouver, un outil plus adapté au problème. J'imagine que bien d'autres ont fait le même cheminement. Et qu'il est donc inutile que je décrive cet autre outil. Est-ce bien le cas?
Tableur ou calculatrice ou logiciel de calcul, c'est ici pour moi la même chose. Ils donnent une valeur décimale, donc la plupart du temps approchée, et pas la valeur rationnelle exacte quand la racine est un rationnel.
Je parle d'une valeur littérale, définie à partir des coefficients du polynôme.
J'ignorais totalement l'existence de tels logiciels ! Comme de beaucoup d'autres choses d'ailleurs...
Donc, avec un tel logiciel, je saurais dire si un quadrinôme rationnel donné quelconque a ou non une racine rationnelle? Et si oui, quel est ce rationnel? J'ai donc travaillé pour rien. Mais ce n'est pas grave: j'ai entretenu mes neurones.
Pour trouver les racines rationnelles d'un polynôme à coefficients entiers, il n'y a qu'un nombre fini de cas à traiter d'après le « test des racines rationnelles ». Pour un polynôme $P=aX^3+bX^2+cX+d$, si le rationnel $p/q$ (écrit sous forme irréductible) est racine, alors $p$ divise $d$ et $q$ divise $a$. Il n'y a plus qu'à essayer tous les diviseurs jusqu'à épuisement. (Bien sûr, ça peut être délicat si par exemple $a=2^{12345678910}+1$...)
Cher M. (monsieur sans doute, si j'en crois les statistiques, mais je ne voudrais pas vous offenser si vous êtes de l'autre sexe, celui que je préfère...).
Merci de continuer à correspondre avec moi. Et pardon pour avoir tardé à vous répondre. Comme je vous l'ai dit, les maths ne sont qu'un passe-temps, et j'ai des obligations auxquelles je ne peux me soustraire.
J'avais trouvé la méthode que vous m'indiquez, et qui est sans doute celle utilisée par le logiciel dont vous m'avez parlé. Bizarrement, je ne l'ai trouvée que tardivement. Parce que les équations que je cherchais à résoudre sont paramétriques et que j'ai d'emblée essayé de trouver une formule littérale qui soit mieux adaptée que les formules de Cardan.
Je vais sans doute vous maudire, car j'avais décidé de ne plus toucher aux maths. Mais vous me posez implicitement une question intéressante : cette formule alternative peut-elle être utile quand on a affaire à de grands nombres? Je vais quand même regarder. Savez-vous à partir de quelle valeur le logiciel cale ? Mes capacités de calcul sont celles d'Excel... et encore, une version qui doit bien avoir une quinzaine d'années !
Réponses
Mais je me dis qu'il doit y avoir un argument plus naturel (et peut-être plus simple aussi).
$xa^2+2(x^2-1)a+x^3-x=0$
Le discriminant réduit est positif ou nul
$(x^2-1)^2-x(x^3-x)=(1-x)(2x+1) \geq 0$
Donc $x$ c'est-à-dire $u,v,w$ sont dans $[-1/2;1]$
C'est curieux l'énoncé demande que ce soit dans $[-1;1]$
Ai-je fait une faute ?
Là, y'en a une
e.v.
Oui, c’est faux. Le calcul du discriminant réduit demande une révision ; elle répond aussi à ta question sur l’intervalle proposé par l’énoncé.
$(x^2-1)^2-x(x^3-1)=1-x^2$ qui doit être positif ou nul.
Donc $x$ c'est-à-dire $u,v,w$ sont bien dans $[-1;1]$.
Comment faire la seconde question ?
Merci.
[Quand tu cites un texte, tu pourrais ne pas réintroduire les fautes d'orthographes ! :-X AD]
[Revoir apparaître des fautes corrigées m'a agacé. Ce n'est pas grave. :-)
Quand tu corriges un message, veille à partir du message du forum et pas d'une copie avant correction que tu aurais conservée chez toi. ;-) AD]
Je ne suis pas certain que le choix $a>0$ conduise à deux racines positives (des essais MAPLE montrent même le contraire).
De plus l'égalité des sinus n'est pas suffisante pour assurer l'égalité des réels...
Suggestion : il y a deux racines de même signe, $u,v$ et la relation à établir est
$(1)\qquad \arcsin|u|+\arcsin|v|=\pi-\arcsin|w|$
Le premier membre est dans $[0,\pi]$, le second dans $[\pi/2,\pi]$ de sorte que l'égalité des cosinus donne une relation équivalente.
Soit $(2)\qquad \sqrt{1-u^2}+\sqrt{1-v^2}+\sqrt{1-w^2}=|u|\,|v|=uv$ elle-même équivalente à l'égalité des carrés :
$(3)\qquad 2-(u^2+v^2+w^2)+2\sqrt{(1-u^2)(1-v^2)(1-w^2)}=0.$
Correction à 17:11 Merci @crapul !
Soit $(2)\qquad \sqrt{1-u^2}\,\sqrt{1-v^2}+\sqrt{1-w^2}=|u|\,|v|=uv$ elle-même équivalente à l'égalité des carrés :
$(3)\qquad 2-(u^2+v^2+w^2)+2\sqrt{(1-u^2)(1-v^2)(1-w^2)}=0.$
Comme $2-(u^2+v^2+w^2)=2-4a^2+2(a^2-1)=-2a^2$ on a la relation équivalente
$(4)\qquad \sqrt{(1-u^2)(1-v^2)(1-w^2)}=a^2$
Le calcul de $(1-u^2)(1-v^2)(1-w^2)$ est simple : ...AQT (âne qui trotte) comme aurait dit le regretté PAPEX...
@etanche, erreur typo : c’est $\sqrt{1-u^2} \times \sqrt{1-v^2} ...$ dans $(1)$ par application immédiate de l’identité $\cos(a+b)=...$
Je trouve la même démarche mais j’ai essayé une démonstration directe (qui ne suppose pas connue la relation donnée par l’énoncé) : c’est plus long et il faut connaître les relations $\arcsin a+\arcsin b=...$ par coeur - ce qui n’est pas courant.
$\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2},\;\sin(\arcsin x)=x$ puis
$\cos(\arcsin p+\arcsin q)=\sqrt{1-p^2}\,\sqrt{1-q^2}-pq$ et $\cos(\pi-\arcsin r)=-\cos(\arcsin r)=-\sqrt{1-r^2}$.
Sauf erreur l'équation a trois racines réelles lorsque $|a|\leq\sqrt{\dfrac{\sqrt{125}-11}2}\simeq 0.300282\cdots$
edit : j'ai joué, j'ai perdu
Mais, bon, s'il y a un argument plus simple, je suis preneur.
Quand un néophyte comme moi s'intéresse aux quadrinômes rationnels du 3ème degré, il se rend compte très vite que les formules de Cardan ne sont absolument pas adaptées à la recherche des racines rationnelles des dits polynômes.
Il suffit pour s'en convaincre de constater qu'il est loin d'être immédiat de savoir si la somme des deux racines cubiques issues de ces formules est un rationnel, même quand il est aussi simple que 1. La méthode la plus simple que je connais est, si l'on ne se contente pas d'en calculer la valeur décimale avec un tableur quelconque, de reconstituer une équation du 3ème degré dont cette somme est la solution, puis de résoudre cette équation autrement !
J'ai donc été amené à chercher, puis à trouver, un outil plus adapté au problème. J'imagine que bien d'autres ont fait le même cheminement. Et qu'il est donc inutile que je décrive cet autre outil. Est-ce bien le cas?
Merci de vos réponses
> si l'on ne se contente pas d'en calculer la valeur décimale avec un tableur quelconque
Que viendrait faire un tableur dans cet histoire ?
Des tas de logiciels de calcul numérique ou même une simple calculatrice font l'affaire.
> Et qu'il est donc inutile que je décrive cet autre outil. Est-ce bien le cas?
Ben, comme on ne voit pas de quoi tu parles, vas-y, décris.
Cordialement,
Rescassol
Je parle d'une valeur littérale, définie à partir des coefficients du polynôme.
Bon, si tu n'as pas envie d'en dire plus sur ta méthode, tant pis.
Les logiciels permettant de calculer exactement, ça existe.
Enfin quand on sait qu'il y a une racine rationnelle à une équation, il existe des méthodes à base de divisibilité sur les coefficients.
Cordialement,
Rescassol
Donc, avec un tel logiciel, je saurais dire si un quadrinôme rationnel donné quelconque a ou non une racine rationnelle? Et si oui, quel est ce rationnel? J'ai donc travaillé pour rien. Mais ce n'est pas grave: j'ai entretenu mes neurones.
Exemple, avec Matlab: Réponse de Matlab:
Cordialement,
Rescassol
> factor(7*x^3 + 2*x^2 + 16*x - 15);
(7 x - 5) (x2 + x + 3)
Cordialement.
NB : C'est bien d'entretenir ses neurones.
Merci de continuer à correspondre avec moi. Et pardon pour avoir tardé à vous répondre. Comme je vous l'ai dit, les maths ne sont qu'un passe-temps, et j'ai des obligations auxquelles je ne peux me soustraire.
J'avais trouvé la méthode que vous m'indiquez, et qui est sans doute celle utilisée par le logiciel dont vous m'avez parlé. Bizarrement, je ne l'ai trouvée que tardivement. Parce que les équations que je cherchais à résoudre sont paramétriques et que j'ai d'emblée essayé de trouver une formule littérale qui soit mieux adaptée que les formules de Cardan.
Je vais sans doute vous maudire, car j'avais décidé de ne plus toucher aux maths. Mais vous me posez implicitement une question intéressante : cette formule alternative peut-elle être utile quand on a affaire à de grands nombres? Je vais quand même regarder. Savez-vous à partir de quelle valeur le logiciel cale ? Mes capacités de calcul sont celles d'Excel... et encore, une version qui doit bien avoir une quinzaine d'années !
j'ai fait une substitution que j'aurais bien voulu
exploiter. Si quelqu'un a une idée...