Polynôme d'endomorphisme inversible
dans Algèbre
Salut,
Soit $E$ un $K$-ev de dimension finie, $f\in\mathcal L(E)$ et $P\in K[X]$ tel que $P(f)\in\mathrm{GL}(E)$. Je pense que $g:=P(f)^{-1}\in K[f]$ mais je n'arrive pas à le montrer.
Soit $E$ un $K$-ev de dimension finie, $f\in\mathcal L(E)$ et $P\in K[X]$ tel que $P(f)\in\mathrm{GL}(E)$. Je pense que $g:=P(f)^{-1}\in K[f]$ mais je n'arrive pas à le montrer.
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Réponses
étant en dimension finie les itérés de $f$ sont liées par un polynôme de degré au plus $n^2$ (la dimension de $\mathcal L(E)$ ) où $n$ est la dimension de l'espace vectoriel sur lesquels $f$ et $g$ s'appliquent ce qui montre qu'un polynôme annulateur existe d'une part, l'idéal annulateur de $f$ n'est pas réduit à l'idéal nul, on est dans un anneau principal donc il y a un polynôme minimal unitaire. Mais puisque $g$ est inversible, on sait que le polynôme possède un coefficient constant non nul... ce qui donne une envie de tenter une division selon les puissances décroissantes... (mais là je divague sans doute ou peut-être... bref même pour moi ça manque de rigueur ce que je dis)
ou alors utiliser le lemme de Gauss en le contraposant ?
Puisque la dimension est finie , $d(f)$ non inversible s'écrit $ \det(d(f))=0$ d'où $ \det(P(f))= \det (R(f)) \det (d(f)) =0$
$P(f)$ est donc non inversible .