Conserver l’irreductibilité sous hypothèse
dans Algèbre
Bonjour,
Je planche sur l’exerice suivant sans succés. Soit $L/K$ une extension de degré $m$ et soit $f\in K[X]$ un polynôme irréductible sur $K$ de degré $n$ premier à $m$. Montrer que $f$ est irréductible sur $L$. J’ai une indication : considérer l’extension engendrée par une racine de $f$. Appelons $\alpha$ cette racine ; alors l’extension $K(\alpha)/K$ est de degré $n$. Après ça je ne sais pas trop quoi faire. Je pourrais regarder l’extension $L(\alpha)/K$ de degré $nm$, ou supposer par l’absurde que $f = gh$ dans $L[X]$, mais je n’arrive pas à avancer. Auriez-vous une indication supplémentaire s’il vous plait?
Merci.
Je planche sur l’exerice suivant sans succés. Soit $L/K$ une extension de degré $m$ et soit $f\in K[X]$ un polynôme irréductible sur $K$ de degré $n$ premier à $m$. Montrer que $f$ est irréductible sur $L$. J’ai une indication : considérer l’extension engendrée par une racine de $f$. Appelons $\alpha$ cette racine ; alors l’extension $K(\alpha)/K$ est de degré $n$. Après ça je ne sais pas trop quoi faire. Je pourrais regarder l’extension $L(\alpha)/K$ de degré $nm$, ou supposer par l’absurde que $f = gh$ dans $L[X]$, mais je n’arrive pas à avancer. Auriez-vous une indication supplémentaire s’il vous plait?
Merci.
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Réponses
$[L(\alpha):K]$ est divisible par $n$, par $m$, donc par $nm$ donc $[L(\alpha):L] = \frac{[L(\alpha):K]}{[L:K]}$ est divisible par $n$, mais est aussi égal au degré du polynôme minimal de $\alpha$ sur $L$.