Normes et matrices

Bonjour,
péremptoirement, je propose un groupe de cardinal $!n \times 2^n$ : le groupe des permutations avec des $(-1)$ un peut où on veut, je pense que les matrices de cette forme répondent au critère sans nécessairement être les seules à le faire.
bonne journée (pardonnez ma brusquerie ...)

dans mon souvenir, c'est dans thèmes de géométrie d'Allessandri, mais je n'ai jamais pu remettre la main sur ce beau livre de géométrie (à un prix raisonnable)

dans mes souvenirs: cerise sur le gâteau, ce groupe marche aussi pour les L^p de de 1 à +infini

callipiger : pas besoin de l'accès au livre, pour la norme infinie du moins. La méthode de preuve qu'on a proposée plus haut devrait suffire.

reuns: il peut y avoir beaucoup de pathologies. Ce groupe va être un sous-groupe compact de $GL_n(\R)$, et peut-être autre chose que (à conjugaison près) $O_n(\R)$.
Que penser de $N:= (x_1,x_2,x_3,x_4) \mapsto \sup \left \{ \sup \{|x_1|,|x_2| \}, \sqrt{x_3^2+x_4^2} \right \}$ et, lorsque $\theta \in \R$, de
$f_{\theta}:= (x_1,x_2,x_3,x_4)\mapsto \left( x_1,x_2,\cos(\theta)x_3-\sin (\theta)x_4 , \sin(\theta) x_3 +\cos(\theta) x_4\right )$ ?
(Si une norme est euclidienne, elle est partout différentiable en dehors de $0$).

Soit $N$ une norme sur $\Bbb{R}^n$ telle que son groupe d'isométries linéaires n'est pas discret.

$Isom(N)$ contient un sous-groupe $\{ \exp(tA),t \in \Bbb{R}\}$,

$A$ est diagonalisable, $A$ a une valeur propre non-nulle donc purement imaginaire $ir$, le cas simple c'est si $ir, -ir$ sont de multiplicité $1$ et que les autres valeurs propres non-nulles sont $\Bbb{Q}$-linéairement indépendantes de $\pm ir$,

soit $v\in \Bbb{C}^n$ le vecteur propre, $A\overline{v} = -ir \overline{v}$ et $A ( a \Re(v) + b \Im(v)) = r (b\Im(v) - a\Re(v))$,

soit $U$ la somme des sous-espaces propres des autres valeurs propres,
comme les autres valeurs propres sont différentes de $\pm ir$, pour tout $a,b$ il existe une suite $t_m$ telle que pour tout $u \in U$, $\lim_{m \to \infty}\exp(t_m A) ( a \Re(v) + b \Im(v) + u)= \sqrt{a^2+b^2} \Re(v)+ u$, donc $N( a \Re(v) + b \Im(v) + u) =N( \sqrt{a^2+b^2} \Re(v)+ u) = \tilde{N}(\sqrt{a^2+b^2}, u)$ où $\tilde{N}$ est une norme sur $\Bbb{R} \times U $.

Dans l'autre sens si $\Bbb{R}^n = \Bbb{R}\Re(v)+\Bbb{R}\Im(v)+U$ et $N( a \Re(v) + b \Im(v) + u) =\tilde{N}(\sqrt{a^2+b^2}, u)$ où $\tilde{N}$ est une norme sur $\Bbb{R} \times U $ alors $Isom(N)$ contient $a \Re(v) + b \Im(v) + u \mapsto (a \cos t+b \sin t) \Re(v) + (a \sin t-b\cos t) \Im(v) + u $.

Si c'est correct alors il faut traiter le cas où le sous-espace propre de $A$ des valeurs propres $\in ir \Bbb{Q}^*$ n'est pas de dimension $2$