Suite des noyaux itérés
dans Algèbre
Salut,
Soit $E$ un ev de dimension finie et $f\in\mathcal L(E)$. Pour tout $k\in\mathbf N$, on note $K_k=\mathrm{Ker}(f^k)$.
On peut montrer que la suite $(K_k)_{k\in\mathbf N}$ est croissante puis stationnaire à partir d'un certain rang. Sauf que je lis un peu partout (dans plusieurs références) qu'elle est "strictement croissante puis stationnaire". Or pour moi, elle peut très bien être stationnaire tout court (donc croissante et stationnaire mais pas strictement croissante puis stationnaire). C'est ainsi le cas lorsqu'elle stationne à $\{0_E\}$.
Ai-je raison ?
Soit $E$ un ev de dimension finie et $f\in\mathcal L(E)$. Pour tout $k\in\mathbf N$, on note $K_k=\mathrm{Ker}(f^k)$.
On peut montrer que la suite $(K_k)_{k\in\mathbf N}$ est croissante puis stationnaire à partir d'un certain rang. Sauf que je lis un peu partout (dans plusieurs références) qu'elle est "strictement croissante puis stationnaire". Or pour moi, elle peut très bien être stationnaire tout court (donc croissante et stationnaire mais pas strictement croissante puis stationnaire). C'est ainsi le cas lorsqu'elle stationne à $\{0_E\}$.
Ai-je raison ?
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Réponses
Une autre formulation, si tu préfères (moi je la préfère) est que le premier rang $k$ tek que $K_k =K_{k+1}$ est le rang à partir duquel elle stationne.
Effectivement, si $f$ est injective, $\ker(f^0)=\{0_E\} =\ker(f^1)=\ker(f^2)= \ldots$. Pas de croissance stricte.
Cordialement.
C'est bizarre, on dirait que tu n'as pas lu ce que j'ai écrit ...
Cordialement.
Le truc clé dans l'histoire est que, si on note $c_k$ la dimension de $K_k$, la suite des différences $\delta_k=e_{k+1}-e_k$ est une suite décroissante d'entiers positifs ou nuls. On le voit en réalisant que le noyau de l'application linéaire
$$K_{k+2}\longrightarrow K_{k+1}/K_k$$
induite par $f$ est égal à $K_{k+1}$.
Je ne dis pas que la suite des $K_k$ est strictement croissante, il n'en a jamais été question : on dit qu'elle est strictement croissante puis stationnaire. Je ne comprends pas pourquoi il y a un débat :-S (sauf si on tient à retirer les suites définies sur un singleton de la définition de stricte croissance, mais je n'en vois pas l'intérêt - ce serait comme faire une définition à part pour l'ensemble vide alors que ça marche très bien avec l'ensemble vide : GBZM, tu devrais être d'accord, non ? toi qui fais la chasse aux hypothèses "$X$ non vide" inutiles :-D )
Toute suite est, d'après toi strictement croissante, puis strictement décroissante puis fait ce qu'elle veut ..
Avec des "si" on mettrait paris en bouteille, avec des "puis" on peut raconter n'importe quoi.
"Je ne comprends pas pourquoi il y a un débat". Oh si, tu comprends bien mais tu joues avec les mots, au lieu d'éclaircir les interrogations de Démarrelesprobas. Et de lui dire ce qu'il en est.
Aucun jeu de mots là dedans, aucune justification a posteriori; dire que c'est faux serait une erreur. "Ce qu'il en est" c'est que l'énoncé est correct, point. Le seul endroit où tu peux ne pas être d'accord, c'est que le mot "puis" du langage courant ne traduit pas ça : très bien, que traduit-il alors ? Je serais bien content de voir une interprétation du mot "puis" qui fait que l'énoncé devient faux !
Donc non, je ne comprends pas pourquoi il y a un débat, et je ne suis pas d'accord qu'il s'agisse d'un jeu avec les mots. Effectivement, si on veut rendre l'énoncé plus lourd, on peut dire "La suite des noyaux itérés est ou bien stationnaire, ou bien il existe $l>0$ jusqu'auquel elle est strictement croissante après quoi elle est stationnaire", mais on peut faire ça avec n'importe quel énoncé, rajouter des "ou" qui sont inclus dans le cas précédent. Je n'en vois pas l'intérêt, mais peut-être est-ce ma faute, et peut-être en vois-tu un.
Tu veux que je te dise que tu as raison ? mathématiquement tu as raison. Humainement ....
Je ne veux pas que tu me dises que j'ai raison, je m'en fiche, personnellement je le connais le résultat, ce n'est pas pour qu'on me dise que j'ai raison que j'ai commenté.
Je voulais que Démarrelesprobas voie que la formulation, même si un peu vague à cause de l'usage du langage courant, est correcte. Je me répète, mais c'est dans le même esprit qu'on s'est souvent interrogé sur le forum pour savoir si la distinction de cas "$X$ vide ou pas" était vraiment nécessaire : quand elle n'est pas nécessaire, mieux vaut l'enlever, ça fait une preuve plus propre et souvent plus simple à lire.
Ici il n'y a pas de distinction à faire selon que $f$ est injective ou pas, et faire cette distinction fait une preuve plus lourde et moins agréable à lire. Maintenant, si on fait une preuve sans cette distinction, on sera amené à dire "donc la suite est strictement croissante sur blabla, puis stationnaire", et il faut être conscient.e à ce moment là que "strictement croissante sur $[0;0]$" ça a du sens, c'est tout.
Mais bon, je vais m'arrêter là, je ne veux pas polluer plus que ça avec des gros pâtés que pas grand monde ne lira de toute façon.
Soit $a$ un réel et $f:\{a\} \to \N$ une fonction. Soient $i,j\in \{a\}$. Alors si $i<j$ on a forcément $f(i)>f(j)$ (en logique classique(*):sans quoi $i<j$ et $f(i) \not \leq f(j)$ mais on ne peut avoir $i<j$ -et a fortiori $i\neq j$ -dans $a$). Donc $f$ est strictement décroissante.
[size=x-small]Pour une preuve intuitionniste, $i<j$ entraîne par définition $i\neq j$, mais comme $i\in \{a\}$ et $j \in \{a\}$ on a aussi $i=j$ d'où $\perp$ (car $i\neq j$ abrège $(i=j)\to \perp$) et enfin comme $\perp \to f(i)>f(j)$, on a $f(i)>f(j)$. $i,j$ étant quelconques (non libres dans les axiomes utilisés), on a prouvé "$\forall i,j\left [i<j \to f(i)>f(j) \right ]$" autrement dit la décroissance de $f$.[/size]
mais au moins le faire de façon gentille, pas par une remarque incompréhensible (je travaille avec l'ensemble vide depuis plus de 50 ans, je n'ai pas compris la remarque ironique de Maxtimax, issue d'une conception trop fréquente ici de prise des phrases pour ce qu'elles sont, pas pour ce qu'elles disent. Le clan des logiciens, qui oublient que tout le monde ne pense pas comme eux.
Si Maxtimax avait expliqué dès sa première réponse qu'on peut interpréter (absurdement pour tout esprit courant) le "strictement croissant" comme appliqué sur le singleton initial, comme il l'a fait ensuite, en s'expliquant, il aurait ouvert l'esprit du demandeur (et le mien par la même occasion). Mais il avait trop besoin de faire l'esprit supérieur, en faisant une remarque cryptique.
Ce qui éloigne les gens de ce forum, c'est justement cette habitude de répondre à des apprenants comme s'ils étaient des idiots. Savoir ne donne aucun droit.
Et pendant ce temps là, on massacre une génération de lycéens dans leur formation mathématique.
Cordialement.
NB : Effectivement, toute suite est strictement décroissante puis fait ce qu'elle veut. Ce qui d'ailleurs lui fait une belle jambe.
Ma première remarque était là pour que Démarrelesprobas s'interroge sur le sens de "strictement croissante" (pas d' "esprit supérieur" là dedans, je sais bien que je suis loin d'avoir un esprit supérieur à qui que ce soit); puis tu as répondu en disant que l'énoncé était incorrect, et Démarrelesprobas aussi en demandant une précision, je t'ai alors corrigé en répondant en même temps à Démarrelesprobas en expliquant qu'il y avait stricte croissance sur $\{0\}$, et c'est là que tu as commencé à m'accuser (de je-ne-sais-quoi d'ailleurs : m'être trompé ? tu as dit après coup que non; faire un jeu sur les mots ? on a établi que ce n'était pas le cas, si tant est qu'on n'est pas effrayé de "si $A$ est fausse, alors $A\implies B$ est vraie"; faire une remarque cryptique ? cette accusation là n'est venue que plus tard, et je viens d'expliquer que c'était justement à des fins pédagogiques, en espérant que Démarrelesprobas trouve de son côté; se pavoiser avec mon "esprit supérieur" ? je ne vois pas ce qui peut laisser penser ça)
Donc justement, je n'ai pas répondu à Démarrelesprobas comme à un.e idiot.e, je lui ai répondu comme on répond à un.e élève : en lui faisant réfléchir. C'est donner la réponse toute faite qui serait répondre comme à un.e idiot.e (cela ne veut pas dire par ailleurs que ne pas trouver la réponse fait de quelqu'un un.e idiot.e, mais ne pas lui laisser la chance de le faire, ça c'est du manque de respect)
PS : je ne vois pas le rapport avec le "clan des logiciens"... déjà ravi de savoir que j'en fait partie, je l'ignorais :-D ensuite il s'agit là d'appliquer une définition de maths, pas de faire de la logique... mais bon, vu l'accueil qu'on réserve aux logicien.ne.s à certains endroits, je ne suis pas étonné que quoi que ce soit qui y fasse penser répugne; et visiblement considérer de la stricte croissance sur un singleton ça rappelle la logique...
Mais les matheux ne comprennent pas le français.
J'arrête ici, ça n'apporte rien à Démarrelesprobas.
Soit $n\in \N$.
La phrase "la suite finie $d_1,..,d_n$ est strictement décroissante puis stationnaire signifie bien, en français, "qu'il existe $p$ dans $[ \! [1;n ] \! ]$ tel que pour tous $i,j$ dans $[ \! [1;p ] \! ]$, si $i<j$ alors $d_i>d_j$; et pour tous $k,\ell$ dans $[ \! [p;n ] \! ]$, $d_k=d_{\ell}$ " n'est-ce pas?
De façon générale, "$A\implies B$" signifie (en logique classique) $\neg (A \wedge \neg $" i.e. on ne peut avoir à la fois $A$ et le contraire de $B$" et $\forall t C$ signifie "il n'existe aucun $t$ tel que $\neg C$".
Et en maths il n'y a jamais de sous-entendu.
tu as dit :
mais je pensais qu'une suite est par définition une application définie sur $\mathbb{N}$ et donc pas sur un singleton...
ne te sens pas obligé de répondre si je n'ai absolument rien compris.
De ce que j'ai vu, le plus souvent, suite signifie quelque chose comme "application définie sur un sous-ensemble de $\N$", ou peut-être parfois voudra-t-on plus spécifiquement sur un segment initial de $\N$. En général c'est le contexte qui détermine.
Et si on veut absolument qu'une suite soit définie sur $\N$, on peut dire "sa restriction à $\{0\}$ est strictement croissante".
En tout cas pour ceux que ça intéresse voici la phrase incriminée
Bon aller il vaut mieux que je m'en aille...
Beh non au contraire, tu as compris le résultat en plus de profondeur, ne t'en va pas ! (enfin je doute qu'il y ait plus à dire sur le sujet, mais tu me comprends :-D )