Générateurs de Isom(E)
Bonjour à tous,
Il y a quelques points dans cette preuve que j'ai du mal à cerner :
- Visiblement, on utilise une somme directe d'applications, je ne connais pas ce concept ni comment il est défini et cela n'a pas l'air d'être courant...
- Je n'arrive pas à comprendre l'argument qui permet de dire que :
Merci par avance pour un petit coup de pouce!
Il y a quelques points dans cette preuve que j'ai du mal à cerner :
- Visiblement, on utilise une somme directe d'applications, je ne connais pas ce concept ni comment il est défini et cela n'a pas l'air d'être courant...
- Je n'arrive pas à comprendre l'argument qui permet de dire que :
Merci par avance pour un petit coup de pouce!
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Et pour le deuxième point, je pense qu'il s'agit d'une coquille; mais en tout cas $s_{H_i}'$ est un endomorphisme de $H$ et $y\in H$ donc $s_{H_i'}(y)\in H$ et on n'a pas besoin de plus pour la suite (tout ce qui importe c'est que $s_{H_i'}(y)+\lambda x_0$ soit la décomposition de notre machin dans $H\oplus D$
je pense que ça parle surtout d'espaces stables, on fait ceci dans $\mathbb{C}$
pour $\mathcal{O(E)}$ on peut dire que $E$ est somme directe de sous-espace de dimensions 1 ou 2
ce que montre l'étude des valeurs propres
les valeurs propres sont de deux types: réelles à savoir 1 et -1 ou complexes conjuguées
pour 1 ou -1 pas trop de soucis 2 projecteurs adaptés au début de la somme directe (que l'on appellera F) suffisent
pour les valeurs propres conjuguées, on va se retrouver avec un produit de rotations, qui laissent stables des plans vectoriels qui complètent la somme directe ci-dessus
reste à montrer que les plans vectoriels existent et sont stables et que le produit de deux isométries suffisent pour dévisser l'isométrie au fur et à mesure:
on prend un vecteur propre associée a une valeur propre complexe on prend son image par l'isométrie
cela fait un plan vectoriel réel à valeur dans un espace dimension 2 sur R
à coup de formule d'Euler on recupère un plan complètement réel où l'isométrie agit comme une rotation que l'on peut dévisser en deux symétries par rapport à des hyperplans dont les vecteurs normaux font un angle égal à la moitié de l'angle de la rotation
on continue avec un vecteur qui n'appartient pas à la somme directe
bilan: on a la somme directe adapté aux valeurs propres 1,-1 et les pairs de conjuguées
désolé si ça fait charabia, mais je pense que tout ce qu'il faut y est, j'ai un doute quant à la technique de réellification mais je pense que ça marche, je dois reprendre ça en détail, je fais ça au pied levé, sans trop être sérieux (mais la rigueur compte en maths et là je sais que c'est loin d'être correct)
est ce que quelqu'un peut me dire si il y a une ou des erreurs et où ?
merci
et bonne journée.