Morphisme quasi-compact

b.b
b.b
dans Algèbre
Bonjour à tous, je bute sur une définition en géométrie algébrique :

Un morphisme $f:X\rightarrow Y$ de schémas est dit quasi-compact si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée :
  • Pour tout ouvert $V$ quasi-compact de $Y$, la préimage $f^{-1}(V)$ est quasi-compacte
  • Il existe un recouvrement $(V_i)$ de $Y$ par des ouverts affines tel que pour tout $i$, la préimage $f^{-1}(V_i)$ est quasi-compacte

Pour démontrer le sens non évident de l'équivalence, il faut au moins supposer $Y$ noethérien, non ?

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Il n'y a pas un truc qui dit que si $U$ est un ouvert quasi-compact d'un schéma, alors tout ouvert de $U$ est aussi quasi-compact ? Genre parce que un ouvert serait aussi un schéma et sa quasi-compacité impliquerait qu'il serait recouvert par un nombre fini d'ouverts affines, donc tout ouvert le serait aussi et donc quasi-compact ?

    Si c'est le cas, alors tu n'as pas besoin de noetherianité, me semble-t-il : prends ton recouvrement $(V_i)$, puis un $V$ quasi-compact. Alors $V$ est recouvert par les $V\cap V_i$, donc par compacité par un nombre fini de $V\cap V_i$. Or $f^{-1}(V_i)$ est quasi-compact, donc $f^{-1}(V\cap V_i)$ l'est aussi en tant qu'ouvert du quasi-compact $f^{-1}(V_i)$, et $f^{-1}(V)$ est recouvert par un nombre fini de $f^{-1}(V\cap V_i)$ quasi-compacts, donc est quasi-compact aussi.

    Mais je me trompe peut-être, je ne m'y connais pas en géométrie algébrique.
  • aRc
    aRc
    Non c'est toujours vrai.

    Je te propose de voir dans un premier temps pourquoi tu peux supposer que $V$ est un ouvert affine.

    Puis le lemme suivant devrais t'aider : Soit $X$ un schéma et $U,V$ deux ouverts affines alors tout point $x\in U \cap V$ admet un voisinage ouvert $W$ qui est un ouvert principal de $U$ et de $V$.
  • b.b
    b.b
    @ Max : peut-être que tu as en tête ce résultat : si $Y$ est un espace topologique noethérien (un schéma noethérien par exemple), tout sous-espace topologique de $Y$ est quasi-compact, mais ici, on essaie justement de se passer de l'hypothèse noethérienne. $Y$ n'est pas supposé noethérien en tant que schéma (il n'est même pas supposé noethérien en tant qu'espace topologique, en fait).

    Un contre-exemple : tu prends $\mathcal{U}=Y=\mathrm{Spec}\,k[X_1,X_2,\dots]$. L'espace $Y$ est quasi-compact, mais $\bigcup_{n\ge1} D(X_n)$ n'est pas quasi-compact (je l'ai piqué ici : https://math.stackexchange.com/questions/507813/can-we-find-a-subset-of-specr-not-quasi-compact).

    @ aRc : Ok, je vais réfléchir au lemme.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    b.b. : non ce n'est pas ça que j'avais en tête, j'avais mis "ouvert" ;-) . D'ailleurs tu repéreras que j'utilise ce "résultat" sur $X$, pas sur $Y$.
    Ton contrexemple me satisfait par contre parce que c'est bien un ouvert donc ok mon truc ne marche pas !
  • b.b
    b.b
    Rien à faire, je bugue totalement et il se fait tard...

    Merci de votre aide en tout cas, @ Max et @ aRc
  • claude quitté
    claude quitté
    @b.b.
    1) Peut-être que la lecture de la section 25.19 de Stacks peut t'aider, cf lemma 25.19.2 in https://stacks.math.columbia.edu/tag/01K2. A ce propos, je pense que l'exemple 25.19.6 est celui que tu as donné.

    2) Il s'agit de l'exercice 3.2 du chap II p. 91 d'Hartshorne, n'est ce pas ? Sur le site de Bryden Cais, https://www.math.arizona.edu/~cais/ à la rubrique Scans and notes, très exactement in https://www.math.arizona.edu/~cais/CourseNotes/AlgGeom04/Hartshorne_Solutions.pdf, il y a certains exercices corrigés, en particulier 3.1, 3.2 de la section 2.3 pages 9,10.
    Attention cependant car B. Cais annonce la couleur : Use at your own risk, but feel free to send me comments and corrections.

    Anecdote : dans les exercices corrigés, au début de la section 2.3, il y a l'utilisation d'un trick mais le forum m'interdit de citer le nom du trick pensant que je fais de la pub pour une marque de vêtements/chaussures : j'écris donc les lettres une à une : N i k e 's trick.
  • aRc
    aRc
    @claude. C'est marrant comme nom, moi j’appelle ça lemme de raffinement (c'est exactement le lemme que j'ai cité plus haut).
  • claude quitté
    claude quitté
    @aRc
    J'avais vu ton message. Aucune idée d'où vient ce N i k e. On en trouve des traces sur le web. J'ai eu du mal à comprendre pourquoi le forum me disait ``Un mot que vous avez écrit dans votre message a été interdit d'utilisation. Merci d'employer un autre mot ou contacter un modérateur''.
    Ce lemme de raffinement est l'objet de la proposition 5.3.1 de Vakil in http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGjun1113public.pdf. Dans la section 5.3.2, Vakil parle de ``Affine communication lemma''.

    PS : ce genre d'exercices n'est pas du tout ma tasse de thé.
  • b.b
    b.b
    Bonjour Claude, c'est effectivement un exo du Hartshorne, mais j'utilise ce livre comme référence (pas le Hartshorne) : https://books.google.fr/books?id=XEiLudn6sq4C&printsec=frontcover&hl=fr#v=onepage&q=lemma 3.3&f=false (voir à la page 68 pour le lemme 3.3).
  • aRc
    aRc
    Mais de souvenir ta question est traitée dans ta référence. As-tu réussi ?
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