Espace d’applications linéaires entre modules

Eh bien c'est comme dans les espace vectoriels ! Tout élément de $M$ s'écrit de manière unique sous la forme $\sum_{1 \leq i \leq n} a_i e_i$ avec les $a_i$ dans $A$ et tout élément de $N$ s'écrit de manière unique sous la forme $\sum_{1 \leq j \leq k} b_j f_j$ avec les $b_j$ dans $A$

Maintenant si $\varphi : M \longrightarrow N$ est un morphisme de $A$-module, alors pour chaque $i \in \{1, \dots, n\}$ on décompose $$\varphi(e_i) = \sum_{1 \leq j \leq k} a_{i,j} f_j$$ avec les $a_{i,j}$ dans $A$. On vérifie alors facilement que $$\varphi = \sum_{1 \leq i \leq n} \sum_{1 \leq j \leq k} a_{i,j} c_{i,j}.$$