Groupe cyclique

diegau · June 2019

Bonjour à tous,
un groupe de cardinal p² (p premier) est commutatif car |G| = [G:Z(G)] . |Z(G)| et
|G/Z| = 1 ou p
Si |G/Z| = 1, c'est évident car G = Z(G)
Si |G/Z| = p, G/Z est cyclique. comme il est monogène cela assure le résultat.

Ma question porte sur le cas |G/Z| = p. Comment peut-on affirmer qu'il est cyclique ? (Il pourrait être fini non-monogène ?)
Un groupe de cardinal p premier est-il toujours cyclique ?

Math Coss · June 2019

Avant de classer les groupes d'ordre $p^2$, tu devrais t'interroger sur les groupes d'ordre $p$. Question : quel peut-être l'ordre d'un élément non trivial dans un groupe d'ordre $p$ premier ?