Unicité et isomorphisme

L'heuristique, le slogan etc. c'est que si $f:A\to B$ est un isomorphisme d'anneaux (de groupes, de ce que tu veux) et que la propriété $P$, portant sur des variables $x_i$ peut être définie "uniquement en référence au fait qu'on est dans un anneau", alors pour toute famille $(a_i)$ dans $A$, $P((a_i))$ est vérifiée si et seulement si $P((f(a_i)))$ l'est.

Je dis "heuristique/slogan" mais si on l'exprime proprement il s'agit en fait d'un théorème (facile à démontrer qui plus est, quand on a les bonnes définitions - c'est cette étape qui est non triviale). Ici "nilpotent, idempotent, somme" sont des propriétés qui s'expriment en faisant uniquement référence au fait qu'on est dans un anneau, donc c'est le cas.

Par contre, si je te dis "tout élément de $A$ s'écrit comme $xy$ où $\emptyset \in x$", $\in$ et $\emptyset$ sont des notions qui ne font pas que référence à al structure d'anneau, elles font aussi référence à la notion d'appartenance, et donc cette propriété ne sera pas préservée par isomorphisme d'anneau.