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Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??

Envoyé par Aloulou 
Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??
il y a quatre mois
Bonjour, je suis élève en classe de seconde et récemment notre professeur a décidé de nous faire un cours sur les complexes. On a donc vu les 3 formes sous lesquelles peut s'écrire z et le professeur nous a demandé de faire un exercice à la maison.

Il faut démontrer l'identité et les 2 formules de Euler, celles avec cosx et sinx. Ça j'ai bien réussi, j'ai commencé par le membre de droite c'est-à-dire (e^ix +e^-ix)/2 (formule du cosinus) et j'ai donc remplacé e^ix par cos x+i sin x ainsi que e^-ix par (cos x + i sin x)^-1 soit 1 sur (cos x+ i sin x). Après avoir tout mis sous le même dénominateur puis simplifié tout en utilisant la formule 1=cos²x + sin²x, je suis bien retombé sur les membres de gauches donc je pense que j'ai réussi la démonstration.

Cependant, en vérifiant sur internet je me rends compte que e^-ix = cos x- i sin x, ce que je ne comprends pas ! (ça devrait être l'inverse de cos x+ i sin x). Savez vous pourquoi cette égalité est vraie sachant que je n'ai pas beaucoup de connaissances dans ce monde des complexes (je sais que e c'est la somme des inverses des factorielles de tous les entiers naturels, et connais aussi les formes algébriques, trigonométriques et exponentielles de z).

Merci d'avance pour votre aide et excusez-moi si ça paraît bête et que je ne vois pas la raison.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Dom
Re: Pourquoi e^(-ix) = cos x- i sin x ??
il y a quatre mois
Une question : es-tu sûr que ces deux choses (ci-dessous) ne sont pas égales ?

$\cos(x) - i\sin(x)$ et $\dfrac{1}{\cos(x)+i\sin(x)}$
Re: Pourquoi e^(-ix) = cos x- i sin x ??
il y a quatre mois
Pour tous réels $a,b,c,d$ on a $(a+ib)(c+id)=ac-bd + (ad+bc)i$. Donc en appliquant cette formule où $a,b$ sont à nouveau réels et $c=a$, $d=-b$, on voit que $(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2 \left ( = aa+bb + (ab-ab)i\right ) $

Soit $x$ réel; on a $\left (\cos (x) \right)^2+ \left (\sin (x)\right)^2=1$ d'où (en remplaçant $a$ par $\cos(x)$ et $b$ par $\sin(x)$ dans ce qui précède) $\left (\cos(x) + i \sin(x) \right ) \left (\cos(x) - i \sin(x) \right ) = 1$.
Re: Pourquoi e^(-ix) = cos x- i sin x ??
il y a quatre mois
Il semble que si mais je ne comprends pas pourquoi.
Dom
Re: Pourquoi e^(-ix) = cos x- i sin x ??
il y a quatre mois
Ok. Foys te propose une méthode.

Sinon, développer sa dernière ligne (membre de gauche) prouve qu’un facteur est bien l’inverse de l’autre.
Re: Pourquoi e^(-ix) = cos x- i sin x ??
il y a quatre mois
avatar
Développe le bazar c’est-à-dire vérifie que les produits en croix sont égaux.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Pourquoi e^(-ix) = cos x- i sin x ??
il y a quatre mois
Je pense avoir compris, quand on prend en compte le fait que i²=-1 un + apparaît à la place du -.

Je vous en suis très reconnaissant ! Merci et bonne soirée.
Re: Pourquoi e^(-ix) = cos x- i sin x ??
il y a quatre mois
Oui ça marche en développant mais il n'y en a pas besoin car ça fait directement cos x²- (isin) ² par identité remarquable puis on simplifie le i. Puis sachant que pour qu'un produit de 2 facteurs soit égal à 1 il faut qu'ils soient des inverses donc tout s'explique ! Merci encore !
Re: Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??
il y a quatre mois
Bonsoir,
une autre façon de voir:
la symétrie par rapport à l'axe des abscisses pour la première formule (qui change le x en -x) et il n'y a qu'à lire les coordonnées où l'ordonnée est changée en son opposé
autre façon de "voir", le cercle trigonométrique est parcouru dans l'autre sens...
bonne soirée.
Re: Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??
il y a quatre mois
avatar
Aloulou:

Votre prof' a-t-il aussi fait un cours sur la fonction exponentielle?

Citation
Aloulou
et récemment notre professeur a décidé de nous faire un cours sur les complexes

On les reconnait comme ça, ils osent tout. smoking smiley

PS:
Aloulou, en France même un élève de terminale S ne sait pas ce que signifie vraiment la formule:
$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??
il y a quatre mois
avatar
Un élève de terminale sait que:

$\exp(ia)\times \exp(ib)=\exp(i(a+b))$

Donc en particulier:
$\exp(ix)\times \exp(-ix)=\exp(0)=1$

Donc $\cos x+i\sin x$ et $\cos x-i\sin x$ sont inverses l'un de l'autre.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??
il y a quatre mois
@fin de partie
c'est un élève de seconde qui prépare un exposé sur un sujet hors programme...
Re: Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??
il y a quatre mois
C'est juste qu'on a fini le programme plus tôt donc on a eu une petite initiation aux matrices, complexes et résolution d'équations de second degré dans C (quand delta est négatif). En tout cas merci beaucoup pour l'aide, jai hâte d'avancer dans les classes pour découvrir des choses sur le monde des complexes.

PS : Et non on a pas eu de cours sur la fonction exponentielle (du moins pas encore, il reste 2 cours de maths !)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par Aloulou.
Re: Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??
il y a quatre mois
avatar
Side:

J'ai bien compris. Quitte à faire dans le bricolage "magique" ce que j'ai écrit ci-dessus ne me semble pas hors sujet.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??
il y a quatre mois
avatar
Aloulou:

Donc tu ne sais pas ce que veut dire $\text{e}^{ix}$?

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??
il y a quatre mois
Non pas du tout, ce n'est vraiment pas un exposé, je peux envoyer une photo du cours initiation aux complexes (bien que mon cahier ne soit pas très propre).
Et non on n'a pas vu exp(ix).
Re: Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??
il y a quatre mois
e^(ix) le prof nous a pas dit ce que ça voulait dire mais j'ai vu sur internet, c'est la somme des inverses des factorielles de tous les entiers naturels.
Re: Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??
il y a quatre mois
avatar
Donc si je te dis que $\cos x+i\sin x=\text{tartempion}$ c'est pareil non?

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??
il y a quatre mois
@fin de partie
C'était juste une rem.
Je pense que ces formules suggereraient qu'ils maîtrisent les formules trigonométriques, ce qui est rarement le cas même pour des élèves plus avancés en terminale.
Re: Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??
il y a quatre mois
Tu peux enovyer une photo Aloulou ?
et dire ce que tu n'as pas compris dans le cours d'introduction ?
Re: Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??
il y a quatre mois
avatar
En terminale S, cette écriture est seulement utilisée par analogie (mais en terminale on est censé apprendre ce qu'est la fonction exponentielle et ses propriétés). Elle n'a pas d'autre justification à ce niveau de classe.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??
il y a quatre mois
[drive.google.com]

Voici le lien avec les images du cours. Sinon merci Callipiger pour l'instant j'arrive à comprendre.
Re: Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??
il y a quatre mois
avatar
J'ai été trop dans la critique. Un crash course?


Aloulou:
La fonction exponentielle (usuelle) est une fonction qui est définie sur l'ensemble des réels et qui prend ses valeurs dans l'ensemble des réels strictement positifs et elle vaut $1$ en $x=0$.
L'image de $x$ par cette fonction est notée $\exp(x)$ ou $\text{e}^x$.

Cette fonction a une propriété remarquable si $x,y$ sont deux réels on a: $\text{e}^{x+y}=\text{e}^{x}\times \text{e}^{y}$

1)Les nombres complexes peuvent être visualisés comme les points du plan.
En effet, si on se donne un repère orthonormé du plan à un nombre complexe $a+ib$ avec $a,b$ réels on peut faire correspondre le point de coordonnées $(a,b)$ et réciproquement.

2) Un point du plan qui n'est pas l'origine du repère peut être repéré uniquement par un angle et un nombre strictement positif.
En effet, tous les points du plan (hormis l'origine du repère) sont situés sur un cercle (pas nécessairement le même cercle bien évidemment).
Donc pour repérer un point on commence par calculer la distance qui le sépare de l'origine du repère et l'angle est l'angle formé par la demi-droite de l'axe des abscisses positives et la demi-droite qui joint l'origine du repère et le point qu'on veut repérer.

Maintenant cela fait qu'on peut repérer le point correspondant à un nombre complexe $a+ib$ avec $a,b$ réel par un nombre positif $r$ et un angle $\alpha$ et ces deux valeurs sont (essentiellement) uniques.

Maintenant si on considère simultanément deux nombres complexes $a+ib$ et $a'+ib'$ avec $a,b,a',b'$ réels.
Supposons que le premier nombre soit repéré par $r$ et $\alpha$ et le second par $r'$ et $\alpha'$.
Si on fait leur produit on obtient un nombre complexe qui sera repéré par $rr'$ et (essentiellement) par $\alpha+\alpha'$

C'est de ce constat qu'on peut avoir l'envie de simplifier l'écriture et d'écrire que:
\begin{align}a+ib&=r\text{e}^{i\alpha}\\
a'+ib'&=r'\text{e}^{i\alpha'}\\
(a+bi)(a'+ib')&=rr'\text{e}^{i(\alpha'+\alpha)}
\end{align}
Ce qui est moins moche à écrire et plus facile à se rappeler si on a en tête les propriétés de la fonction exponentielle réelle.

(En fait cette écriture n'est pas que formelle mais c'est une autre histoire plus compliquée)

PS:
Ce que j'explique figure en partie dans les notes de cours qui figurent plus haut (googledrive)

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??
il y a quatre mois
Aloulou:
dans ton cours, le prof te donne une méthode: multiplier par la forme conjuguée du dénominateur., le numerateur et le dénominateur de ta fraction
fais cela...
c'est la seule méthode donnée par ton cours pour gérer les fractions.
Re: Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??
il y a quatre mois
J'ai compris la formule, par exemple a² x a³ = a^5. Et ça marche aussi avec les divisions (soustraction des puissances) Donc j'ai compris les 3 lignes. Je vais prendre une capture d'écran de ton message pour le relire souvent et que ça rentre. Merci beaucoup Fin de partie

Callipiger, les méthodes utilisées chez les réels ne marchent pas pour les complexes ?
Re: Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??
il y a quatre mois
si elles marchent... la seule différence c'est que toi tu as une chose nouvelle avec les nombres complexes c'est le mot
conjuguée

edit
en fait tu as déja rencontré la conjugaison peut-être au collège ???
un exemple on prend $\frac{3+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$ ce qui est gênant c'est $1+\sqrt{2}$ au dénominateur puisque le conjugué de$1+\sqrt{2}$ est $1-\sqrt{2}$ en multipliant la première fraction par la fraction $\frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}$ qui vaut 1 puisque le quotient d'un nombre non nul par lui même vaut toujours 1 on obtient $\frac{3+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\times \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\frac{(3+\sqrt{2})\times(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})\times(1-\sqrt{2})}=\frac{1-2\sqrt{2}}{1+2}$


mais au final tu vois c'est pareil... et juste pour rigoler tu vois que le conjugué du conjugué d'un nombre c'est lui même ce qui sera intéressant plus tard

la valeur d'une fraction même si elle est écrite avec des nombres complexes ne change pas dès qu'on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre complexe



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par callipiger.
Re: Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??
il y a quatre mois
Souvent , les étudiants qui ont des difficultés avec les nombres complexes disent que c'est un truc totalement artificiel et donc sans intérêt. Si les méthodes utilisées chez les réels ne marchaient pas pour les complexes, alors, 2 choses.
- D'une part, les étudiants en question auraient raison, on pourrait dire que les complexes, c'est une invention totalement artificielle.
- D'autre part, les nombres complexes auraient totalement disparu.

Si les nombres complexes inventés découverts par Cardan il y a plus de 400 ans sont toujours utilisés aujourd'hui,c'est parce qu'ils sont un prolongement extrêmement logique/naturel/cohérent de l'ensemble des Réels.
Re: Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??
il y a quatre mois
avatar
Aloulou:

En effet, la fonction exponentielle permet de donner un sens à une expression comme $2^{\sqrt{2}}$

et le symbole $\text{e}$ dans $\text{e}^x$ est bien un nombre. Sans surprise il est égal à $\text{e}^1$.

Ce qui fait qu'on peut interpréter la formule $\text{e}^{x+y}=\text{e}^{x}\times \text{e}^{y}$ comme une généralisation de ce qu'on apprend au collège sur les puissances. C'est une généralisation parce qu'ici $x,y$ sont des réels quelconques et pas seulement des entiers naturels.

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