Pourquoi $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ ??

Pour tous réels $a,b,c,d$ on a $(a+ib)(c+id)=ac-bd + (ad+bc)i$. Donc en appliquant cette formule où $a,b$ sont à nouveau réels et $c=a$, $d=-b$, on voit que $(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2 \left ( = aa+bb + (ab-ab)i\right ) $

Soit $x$ réel; on a $\left (\cos (x) \right)^2+ \left (\sin (x)\right)^2=1$ d'où (en remplaçant $a$ par $\cos(x)$ et $b$ par $\sin(x)$ dans ce qui précède) $\left (\cos(x) + i \sin(x) \right ) \left (\cos(x) - i \sin(x) \right ) = 1$.

Ok. Foys te propose une méthode.

Sinon, développer sa dernière ligne (membre de gauche) prouve qu’un facteur est bien l’inverse de l’autre.

Bonsoir,
une autre façon de voir:
la symétrie par rapport à l'axe des abscisses pour la première formule (qui change le x en -x) et il n'y a qu'à lire les coordonnées où l'ordonnée est changée en son opposé
autre façon de "voir", le cercle trigonométrique est parcouru dans l'autre sens...
bonne soirée.

Un élève de terminale sait que:

$\exp(ia)\times \exp(ib)=\exp(i(a+b))$

Donc en particulier:
$\exp(ix)\times \exp(-ix)=\exp(0)=1$

Donc $\cos x+i\sin x$ et $\cos x-i\sin x$ sont inverses l'un de l'autre.

Aloulou:

Donc tu ne sais pas ce que veut dire $\text{e}^{ix}$?

supp

En terminale S, cette écriture est seulement utilisée par analogie (mais en terminale on est censé apprendre ce qu'est la fonction exponentielle et ses propriétés). Elle n'a pas d'autre justification à ce niveau de classe.

J'ai été trop dans la critique. Un crash course?


Aloulou:
La fonction exponentielle (usuelle) est une fonction qui est définie sur l'ensemble des réels et qui prend ses valeurs dans l'ensemble des réels strictement positifs et elle vaut $1$ en $x=0$.
L'image de $x$ par cette fonction est notée $\exp(x)$ ou $\text{e}^x$.

Cette fonction a une propriété remarquable si $x,y$ sont deux réels on a: $\text{e}^{x+y}=\text{e}^{x}\times \text{e}^{y}$

1)Les nombres complexes peuvent être visualisés comme les points du plan.
En effet, si on se donne un repère orthonormé du plan à un nombre complexe $a+ib$ avec $a,b$ réels on peut faire correspondre le point de coordonnées $(a,b)$ et réciproquement.

2) Un point du plan qui n'est pas l'origine du repère peut être repéré uniquement par un angle et un nombre strictement positif.
En effet, tous les points du plan (hormis l'origine du repère) sont situés sur un cercle (pas nécessairement le même cercle bien évidemment).
Donc pour repérer un point on commence par calculer la distance qui le sépare de l'origine du repère et l'angle est l'angle formé par la demi-droite de l'axe des abscisses positives et la demi-droite qui joint l'origine du repère et le point qu'on veut repérer.

Maintenant cela fait qu'on peut repérer le point correspondant à un nombre complexe $a+ib$ avec $a,b$ réel par un nombre positif $r$ et un angle $\alpha$ et ces deux valeurs sont (essentiellement) uniques.

Maintenant si on considère simultanément deux nombres complexes $a+ib$ et $a'+ib'$ avec $a,b,a',b'$ réels.
Supposons que le premier nombre soit repéré par $r$ et $\alpha$ et le second par $r'$ et $\alpha'$.
Si on fait leur produit on obtient un nombre complexe qui sera repéré par $rr'$ et (essentiellement) par $\alpha+\alpha'$

C'est de ce constat qu'on peut avoir l'envie de simplifier l'écriture et d'écrire que:
\begin{align}a+ib&=r\text{e}^{i\alpha}\\
a'+ib'&=r'\text{e}^{i\alpha'}\\
(a+bi)(a'+ib')&=rr'\text{e}^{i(\alpha'+\alpha)}
\end{align}
Ce qui est moins moche à écrire et plus facile à se rappeler si on a en tête les propriétés de la fonction exponentielle réelle.

(En fait cette écriture n'est pas que formelle mais c'est une autre histoire plus compliquée)

PS:
Ce que j'explique figure en partie dans les notes de cours qui figurent plus haut (googledrive)

Souvent , les étudiants qui ont des difficultés avec les nombres complexes disent que c'est un truc totalement artificiel et donc sans intérêt. Si les méthodes utilisées chez les réels ne marchaient pas pour les complexes, alors, 2 choses.
- D'une part, les étudiants en question auraient raison, on pourrait dire que les complexes, c'est une invention totalement artificielle.
- D'autre part, les nombres complexes auraient totalement disparu.

Si les nombres complexes inventés découverts par Cardan il y a plus de 400 ans sont toujours utilisés aujourd'hui,c'est parce qu'ils sont un prolongement extrêmement logique/naturel/cohérent de l'ensemble des Réels.