Dimension espace cyclique

Démarrelesprobas · June 2019

Salut,

Soit $E$ un $K$-ev de dimension finie, $f\in\mathcal L(E)$ et $x\in E$. On note $E_{f,x}=\mathrm{Vect}(f^{k}(x))_{k\in\mathbf N}$ le sous-espace cyclique de $f$ associé à $x$ et $\mu_{f,x}$ le polynôme minimal local de $f$ en $x$.

Je sais que :

$E_{f,x}$ est le plus petit sous-espace de $E$ contenant $x$ et stable par $f$ ;
$\mu_{f,x}$ est le polynôme unitaire engendrant l'idéal $\{P\in K[X], P(f)(x)=0_E\}$, qui existe car $E$ est de dimension finie.

Comment montrer que $\mathrm{dim}(E_{f,x})=\mathrm{deg}(\mu_{f,x})$ ?

Maxtimax · June 2019

Qu'as-tu déjà essayé ?
Est-ce que tu sais prouver (les deux sont similaires et en fait on peut prouver l'un à partir de l'autre; mais souvent on les présente comme des résultats différents) que la dimension de $K[f] \subset L(E)$ est $\deg (\mu_f)$ où $\mu_f$ est le polynôme minimal de $f$ ?

Bbidule · June 2019

Bonsoir,

Il peut être judicieux de considérer
$$m = \min\left\{~k\in\mathbb{N}~\big\vert~\left(f^i(x)\right)_{0\leqslant i\leqslant k}~\text{liée}~\right\}$$