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Dimension espace cyclique

Envoyé par Démarrelesprobas 
Dimension espace cyclique
il y a cinq mois
Salut,

Soit $E$ un $K$-ev de dimension finie, $f\in\mathcal L(E)$ et $x\in E$. On note $E_{f,x}=\mathrm{Vect}(f^{k}(x))_{k\in\mathbf N}$ le sous-espace cyclique de $f$ associé à $x$ et $\mu_{f,x}$ le polynôme minimal local de $f$ en $x$.

Je sais que :
  • $E_{f,x}$ est le plus petit sous-espace de $E$ contenant $x$ et stable par $f$ ;
  • $\mu_{f,x}$ est le polynôme unitaire engendrant l'idéal $\{P\in K[X], P(f)(x)=0_E\}$, qui existe car $E$ est de dimension finie.
Comment montrer que $\mathrm{dim}(E_{f,x})=\mathrm{deg}(\mu_{f,x})$ ?
Re: Dimension espace cyclique
il y a cinq mois
Qu'as-tu déjà essayé ?
Est-ce que tu sais prouver (les deux sont similaires et en fait on peut prouver l'un à partir de l'autre; mais souvent on les présente comme des résultats différents) que la dimension de $K[f] \subset L(E)$ est $\deg (\mu_f)$ où $\mu_f$ est le polynôme minimal de $f$ ?

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Dimension espace cyclique
il y a cinq mois
avatar
Bonsoir,

Il peut être judicieux de considérer
$$m = \min\left\{~k\in\mathbb{N}~\big\vert~\left(f^i(x)\right)_{0\leqslant i\leqslant k}~\text{liée}~\right\}$$
Re: Dimension espace cyclique
il y a cinq mois
Bonsoir,

puis de revenir au polynôme en $f$ de degré $m$ qui montre que la famille dessus est liée...
Re: Dimension espace cyclique
il y a cinq mois
Merci, c'est bon.
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