La matrice est-elle inversible ?
Bonjour, je sèche sur cet exercice.
Soit $\theta\in\C$ et $A=(a_{j,k})$ la matrice carrée de taille $n$ telle que $a_{j,k}=\theta^{(j-1)(k-1)}$.
$A$ est-elle inversible ?
(Peut-être une piste ?
L'exercice (Mines-Ponts) nous fait d'abord traiter le cas $\theta=e^{i2\pi/n}$
par calcul du produit de $A$ par sa matrice conjuguée.
Je n'ai pas su faire le lien).
Soit $\theta\in\C$ et $A=(a_{j,k})$ la matrice carrée de taille $n$ telle que $a_{j,k}=\theta^{(j-1)(k-1)}$.
$A$ est-elle inversible ?
(Peut-être une piste ?
L'exercice (Mines-Ponts) nous fait d'abord traiter le cas $\theta=e^{i2\pi/n}$
par calcul du produit de $A$ par sa matrice conjuguée.
Je n'ai pas su faire le lien).
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Réponses
Alors $\det(A) = V(1, \theta, \theta^2, \ldots, \theta^{n-1})$ (déterminant de Vandermonde).
$\bullet~$Si $\theta$ n'est pas de module 1 ni nul, les coefficients du déterminant sont tous distincts (regarder leurs modules), c'est inversible.
$\bullet~$Si $\theta=0$, c'est facile.
$\bullet~$Si $\theta=e^{i\alpha}$, on a une condition nécessaire et suffisante d'inversibilité de $A$ :
les réels $0, \alpha, 2\alpha, \ldots, (n-1)\alpha$ sont deux à deux distincts modulo $2\pi$.
Cette dernière condition peut-elle être simplifiée ?