Complétion $SO_2(\Q)\subset GL_2(\Q_p)$
Bonjour, à quoi ressemble la complétion de $SO_2(\Bbb{Q}) \cap GL_2(\Bbb{Z}_p) = \Big\{ \pmatrix{x & y \\ -y & x},~ (x,y) \in \Bbb{Q}^2 \cap \Bbb{Z}_p^2,~ x^2+y^2=1\Big\}$ dans $GL_2(\Bbb{Q}_p)$ et quelle est la signification du groupe obtenu ?
La complétion de $SO_2(\Bbb{Q})$ dans $GL_2(\Bbb{R})$ c'est $SO_2(\Bbb{R})$ et pour n'importe quelle norme $\|.\|$ sur $\Bbb{R}^2$ on a que $N(v) = \sup \{ \| A v\|, A \in SO_2(\Bbb{R})\} $ est la norme euclidienne (à une constante près). On a $N(u+v)^2 = N(u)^2+N(v)^2$ ssi $u_1v_1+u_2v_2 = 0$.
Dans $\Bbb{Q}_p$ que devient cette dernière condition, étant donné une norme $\|.\|$ sur $\Bbb{Q}_p^2$ et $N(v) = \sup \{ \| A v\|, A \in SO_2(\Bbb{Q}) \cap SO_2(\Bbb{Z}_p)\} $, quand est-ce que $N(u+v)^2 = N(u)^2+N(v)^2$ ?
La complétion de $SO_2(\Bbb{Q})$ dans $GL_2(\Bbb{R})$ c'est $SO_2(\Bbb{R})$ et pour n'importe quelle norme $\|.\|$ sur $\Bbb{R}^2$ on a que $N(v) = \sup \{ \| A v\|, A \in SO_2(\Bbb{R})\} $ est la norme euclidienne (à une constante près). On a $N(u+v)^2 = N(u)^2+N(v)^2$ ssi $u_1v_1+u_2v_2 = 0$.
Dans $\Bbb{Q}_p$ que devient cette dernière condition, étant donné une norme $\|.\|$ sur $\Bbb{Q}_p^2$ et $N(v) = \sup \{ \| A v\|, A \in SO_2(\Bbb{Q}) \cap SO_2(\Bbb{Z}_p)\} $, quand est-ce que $N(u+v)^2 = N(u)^2+N(v)^2$ ?
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Réponses
Sur $\Bbb{R}^2$ on a la norme euclidienne $\sqrt{\sum_i v_i^2}$ qui est invariante par le sous-groupe compact maximal $O_2(\Bbb{R})$
et son équivalent sur $\Bbb{Q}_p^2$ c'est la norme $\max_i |v_i|_p$ qui est invariante par le sous-groupe compact maximal $GL_2(\Bbb{Z}_p)$
$SO_2(\Bbb{Z}_p)$ est facile à décrire, c'est $H = \{ \pmatrix{ \sqrt{1-y^2}) & y^2 \\ -y^2 & \sqrt{1-y^2})}, v(y) > 0$ multiplié par les quelques représentants de $SO_2(\Bbb{F}_p)$.
Mais ça n'est pas évident que $H \cap SO_2(\Bbb{Q})$ est dense dans $H$.
Et pour les autres groupes algébriques, est-ce que le but c'est de donner une formulation algébrique à $\exp : Lie(G) \to G$ ?
[Inutile de recopier le message initial. Un lien suffit. AD]
J'écarte le cas $p=2$. J'imagine que par complétion tu entends adhérence ... Tout dépend si $-1$ est un carré dans ${\mathbb Q}_p$ ou non (donc suivant que $p$ est congru à $1$ ou $3$ modulo $4$). Si $-1$ est un carré alors ton groupe se diagonalise et tu peux faire les calculs facilement. Sinon on commence par calculer l'adhérence dans ${\rm GL}(2,{\mathbb Q}_p)$. La matrice $$
a=\left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right)
$$ engendre une extension quadratique $K={\mathbb Q}_p [a ]$. L'adhérence que tu cherches est l'ensemble $K^1$ des éléments de normes $1$ de l'extension $K/{\mathbb Q}_p$. Par des considérations de valuations, on montre que $K^1 \subset {\rm GL}(2,{\mathbb Z}_p )$. L'adhérence que tu cherches est donc $K^1$.
Effectivement j'aurais dû imprimer cette paramétrisation $t \mapsto (x,y)=(\frac{t^2-1}{t^2+1},\frac{2t}{t^2+1})$ des points rationnels du cercle.
Son inverse c'est $t = \frac{y}{1-x}$ c'est à dire que $\Bbb{Q}(x)[y]/(x^2+y^2-1) = \Bbb{Q}(\frac{y}{1-x})$.
Si on remplaçait $\Bbb{Q}$ par $\Bbb{Q}(i)$ alors il y a $(u,v) = (x+iy,x-iy)$ qui donne $(x,y) \mapsto (u,1/u)$, c'est une paramétrisation $\Bbb{Q}(i)$-rationnelle du groupe algébrique, donc si $(x,y) \in \Bbb{Q}_p(i), x^2+y^2=1$ alors on sait l'approximer par $(u_n,1/u_n)\in \Bbb{Q}(i)^2\to (u,1/u)$. (Même si je n'ai pas l'impression que ça aide pour l'approximation dans $\Bbb{Q}$) j'imagine que cette version se généralise plus facilement aux autres groupes algébriques ?