Action de groupes
Bonjour,
je me mets depuis peu aux actions de groupes sur les matrices. J'ai lu des choses sur les actions de translation, de Steinitz (matrices équivalentes) et de conjugaison (matrices semblable).
Je souhaiterais faire une "combinaison" avec une action qui embarque à la fois de la translation (à droite et à gauche) et de la conjugaison histoire de m'amuser à formaliser par des actions de groupes des résultats connus d'automatique (théorie du contrôle).
Pour cela, on considère l'ensemble des matrices $\mathcal{M}_{(n+m),(n+p)}(\mathbb{R})$ avec $n, m, p \in \mathbb{N}^*$. C'est-à-dire des matrices par blocs $M = \left[\begin{array}{cc}A&B\\C&D\\\end{array}\right]$ avec $A\in\mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{R})$, $B\in\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R})$, $C\in\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})$, $D\in\mathcal{M}_{p,m}(\mathbb{R})$ sur lequel on fait agir le groupe $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ (à gauche) de la manière suivante $$
(P,M)\mapsto \left[\begin{array}{cc}PAP^{-1}&PB\\CP^{-1}&D\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}P&0_{n,p}\\0_{p,n}&I_p\\\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A&B\\C&D\\\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}P&0_{n,m}\\0_{m,n}&I_m\\\end{array}\right]^{-1}.
$$ Maintenant, je souhaite caractériser l'orbite de $M$. Pour cela, je sais que l'orbite d'une translation à gauche est caractérisée par le noyau (ici $\ker B$), d'une translation droite par l'image (ici $\operatorname{im} C$) et enfin que l'orbite d'une conjugaison est caractérisée par tous les des invariants de similitude de $A$,
polynômes caractéristique et minimal (ici $\chi_A$ et $\mu_A$).
Ma conclusion est intuitivement que l'orbite de la matrice $M = \left[\begin{array}{cc}A&B\\C&D\\\end{array}\right]$ est caractérisée par tous les des invariants de similitude de $A$ (par $\chi_A$, $\mu_A$), $\ker B$, $\operatorname{im} C$ et $D$. Bref ça fait beaucoup de monde. Est-il possible de trouver une caractérisation plus légère ?
Je vous remercie par avance pour vos lumières.
Cordialement,
Mister Da
Edit : en rouge mes erreurs, en bleu les corrections.
je me mets depuis peu aux actions de groupes sur les matrices. J'ai lu des choses sur les actions de translation, de Steinitz (matrices équivalentes) et de conjugaison (matrices semblable).
Je souhaiterais faire une "combinaison" avec une action qui embarque à la fois de la translation (à droite et à gauche) et de la conjugaison histoire de m'amuser à formaliser par des actions de groupes des résultats connus d'automatique (théorie du contrôle).
Pour cela, on considère l'ensemble des matrices $\mathcal{M}_{(n+m),(n+p)}(\mathbb{R})$ avec $n, m, p \in \mathbb{N}^*$. C'est-à-dire des matrices par blocs $M = \left[\begin{array}{cc}A&B\\C&D\\\end{array}\right]$ avec $A\in\mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{R})$, $B\in\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R})$, $C\in\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})$, $D\in\mathcal{M}_{p,m}(\mathbb{R})$ sur lequel on fait agir le groupe $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ (à gauche) de la manière suivante $$
(P,M)\mapsto \left[\begin{array}{cc}PAP^{-1}&PB\\CP^{-1}&D\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}P&0_{n,p}\\0_{p,n}&I_p\\\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A&B\\C&D\\\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}P&0_{n,m}\\0_{m,n}&I_m\\\end{array}\right]^{-1}.
$$ Maintenant, je souhaite caractériser l'orbite de $M$. Pour cela, je sais que l'orbite d'une translation à gauche est caractérisée par le noyau (ici $\ker B$), d'une translation droite par l'image (ici $\operatorname{im} C$) et enfin que l'orbite d'une conjugaison est caractérisée par tous les des invariants de similitude de $A$,
polynômes caractéristique et minimal (ici $\chi_A$ et $\mu_A$).
Ma conclusion est intuitivement que l'orbite de la matrice $M = \left[\begin{array}{cc}A&B\\C&D\\\end{array}\right]$ est caractérisée par tous les des invariants de similitude de $A$ (par $\chi_A$, $\mu_A$), $\ker B$, $\operatorname{im} C$ et $D$. Bref ça fait beaucoup de monde. Est-il possible de trouver une caractérisation plus légère ?
Je vous remercie par avance pour vos lumières.
Cordialement,
Mister Da
Edit : en rouge mes erreurs, en bleu les corrections.
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Réponses
Au passage le couple $(\chi_A, \pi_A)$ ne détermine pas l'orbite de conjugaison de $A$. Par exemple $$\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\qquad \text{et}\qquad \begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}$$ ont clairement les mêmes polynômes minimaux et caractéristiques, mais ne sont pas conjuguées.
La classe de conjugaison est déterminée par les invariants de Frobenius, ou par les blocs de Jordan sur la clôture algébrique du corps des coefficients.
effectivement, merci de m'avoir corrigé aussi rapidement ! De ce que j'ai lu, cette caractérisation est suffisante pour les matrices $A$ diagonalisables mais c'est tout (et j'ai réussi à oublier la condition...). Bref, c'est encore plus horrible que prévu finalement.
@Poirot, en fait, comme il y a cette relation $CA^kB = (CP^{-1})(PAP^{-1})^k(PB)$ pour tout $k\in\mathbb{N}$ je me demandais si on pouvait faire dégonfler la caractérisation mais je tourne en rond. En automatique, on appelle parfois ces quantités les coefficients de Markov. On a $M\sim \tilde M \Rightarrow CA^kB = \tilde C\tilde A^k\tilde B$ pour tout $k\in\mathbb{N}$ et on peut avoir la réciproque en ajoutant des conditions un peu plus lourdes. Il me semble que si on ajoute (il s'agit de matrices par blocs) $\operatorname{rang}\left[\begin{array}{ccc}B&AB&\dots& A^{n-1}B\end{array}\right]=n = \operatorname{rang}\left[\begin{array}{c}\\CA\\\vdots\\ CA^{n-1}\end{array}\right]$ on a la réciproque. De mémoire il s'agit de conditions nécessaires et suffisantes mais à prendre avec des pincettes car je n'ai pas encore eu l'occasion de le vérifier.
Intuitivement j'essaye de me convaincre en me disant que si $B$ est composé d'une colonne que l'on identifie à un vecteur de $\mathbb{R}^n$, alors $\operatorname{rang}\left[\begin{array}{ccc}B&AB&\dots& A^{n-1}B\end{array}\right]$ permet de dire que $A$ est cyclique (puisqu'il existe donc un vecteur $x$ tel que la famille $(A^ix)_{0\leq i\leq n-1}$ soit une base de $\mathbb{R}^n$).
Encore merci pour votre aide.
Cordialement,
Mister Da
Edit : je n'avais pas vu le dernier message de GaBuZoMeu quand j'ai écrit ma réponse (je suis terriblement lent).
Ensuite, l'idée qui permet de caractériser l'orbite de $B$ à multiplication par une matrice inversible à gauche près, c'est d'utiliser les opérations sur les lignes de $B$ pour la ramener à une matrice échelonnée. Or, si tu veux utiliser une matrice $P$ qui met aussi $A$ sous une « bonne » forme, cela te laisse beaucoup moins de latitude. Par exemple, si $A$ est la matrice diagonale $\mathrm{diag}(1,2,\dots,n)$, les seules matrices $P$ autorisées sont en gros les matrices diagonales ; en revanche, si $A=\mathrm{I}_n$, toutes les $P$ sont autorisées. Bref, la forme normale finale va dépendre fortement de $A$ et de la relation entre $A$ et $B$.
À vrai dire, je ne suis pas sûr que l'on puisse espérer une classification des orbites. Si on ajoute les opérations sur les lignes de $C$ et les colonnes de $B$, c'est sûr que l'on ne peut pas.
c'est effectivement très mal engagé. Je suis arrivé en tongs pour monter l'Everest. C'est beau l’innocence !
Merci beaucoup pour vos réponses et votre patience.
Cordialement,
Mister Da