Inverse à gauche

Le côté exact, on s'en fiche :-D alors faisons les choses à droite. Je note $D$ la dérivation.

J'ai pris $E = \mathcal{C}^{\infty}([0;1],\mathbb{R})$, avec $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ ça me posait des problèmes.

Mais effectivement, si on définit $I(f) = \bigg[x \longmapsto \displaystyle \int_0^x f(t)dt \bigg]$, d'après le théorème fondamental de l'analyse on sait que $I(f)$ est dérivable sur $[0;1]$ et de dérivée $f$, donc on a bien $I(f) \in \mathcal{C}^{\infty}([0;1], \mathbb{R})$, et $D(I(f)) = f$ par définition. Si on pose $I_c(f) = I(f) + c$, pour tout $c \in \mathbb{R}$ on a un nouvel inverse à droite pour $D$. Donc $D$ a une infinité d'inverses à droite.

Si je cherche des inverses à gauche pour $D$... je saisque $I(D(f)) + f(0) = f$, mais je ne sais pas comment transformer ça en opérateur, ça me paraît compromis.

En tout cas, merci pour le contrexemple (:D

Ben, il y a des fonctions qui sont $\mathcal{C}^{\infty}$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, mais qui ne sont pas intégrables sur $\mathbb{R}$ tout entier. Du coup, je ne voulais pas m'embêter avec des supports compacts ou du localement intégrable juste pour bricoler un contrexemple.

J'ai essayé de bidouiller un contrexemple plus simple avec ce que tu as dit.

EDIT : J'ai fait plein de fautes, et du coup mon exemple ne marchait pas. En considérant le monoïde des des applications de $[0;1]$ dans lui-même, je voulais regarder $f : x \longmapsto |2x-1| = \begin{cases} 1-2x & \text{si } x \leqslant \displaystyle \frac{1}{2} \\ 2x-1& \text{si } x \geqslant \displaystyle \frac{1}{2} \end{cases}$, qui est surjective, mais non injective. Mais son inverse à droite est unique, c'est $g : x \longmapsto \begin{cases} \displaystyle \frac{1-x}{2} & \text{si } x \leqslant \displaystyle \frac{1}{2} \\ \displaystyle \frac{1+x}{2} & \text{si } x \geqslant \displaystyle \frac{1}{2} \end{cases}$. Donc pas de multiples inverses d'un côté pour cette fonction-là...

Oui, je me suis encore emmêlé dans mes brouillons. J'ai tout mélangé ! Je vais rectifier mon bazar.

Ah, voilà, ça ça m'a l'air plus simple.

Si on appelle $D$ (pour décalage) ton opérateur, il a effectivement deux inverses à gauche : celui qui supprime le premier terme de la suite, et celui qui supprime le deuxième.

Mais tant qu'on y est, restons dans le même espace et cherchons un opérateur qui a plusieurs inverses à droite. On peut retourner la situation d'avant : on prend l'opérateur $D'$ qui supprime le premier terme de la suite, il a une infinité d'inverses à droite : Tout opérateur $T_y$ qui transforme $(x_0,x_1,...)$ en $(y,x_0,x_1,...)$ est un inverse à droite de $D'$.