Non conservation de la liberté, modules

Boole et Bill · June 2019

Bonjour à tous,

Je cherche à exhiber un exemple de $A$-module $M$ qui soit libre, mais qui contienne un sous-module $N$ qui ne le soit pas. J’ai pensé à prendre pour $A$ et pour $M$ l’anneau $\Z/4\Z$ et pour sous-module l’idéal engendré par la classe de $2$. Auriez-vous un exemple un peu plus « modulaire » s’il vous plait?
Je cherhce également avec les mêmes notations un module de type fini dont un sous module ne soit pas de type fini. Pour cela je commence par cherhcer du coté des anneaux non nœthériens que je connais, et j’ai un peu honte mais aucun ne me vient. Pourriez-vous m’aider à cela également?

Je vous remercie.

NoName · June 2019

Ben prend $A$ non noethérien, c'est un module de type fini sur lui même, il contient un idéal qui ne soit pas de type fini puisqu'il est non noethérien.
Tu peux prendre $A=k[T_1,..., T_r,...]$ et $I=(X_1,..., X_r,...)$.
Pour ton autre question tu peux faire pareil, prend un anneau non principal, alors il contient un idéal qui ne soit pas libre. Par exemple $A=k[X,Y]$ et $I=(X,Y)$.

Boole et Bill · June 2019

Merci NoName

NoName · June 2019

Au passage, il existe des anneaux, nécéssairement non noethérien, pour lesquels tout idéal de type fini est principal, mais qui ne sont pas principaux, un exemple fameux est $O_{\mathbb{C}_p}$, ou plus simplement l'ensemble des élements de $\overline{\mathbb{Q}}_p$ qui sont entiers (sur $\mathbb{Z}_p$).

Non conservation de la liberté, modules

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