Irréductibilité en caractéristique 2

Joaopa · June 2019

Bonjour

Soit $K$ un corps de caractéristique 2 et $P(X)=aX^2+bX+c$ un polynôme de $K[X]$ ($a\ne0$)
Quelqu'un connaît-il une CNS pour que $P$ soit irréductible sur $K$?

Merci d'avance

Par CNS, j'entends un truc du genre $b^2-4ac\notin K^2$ si l'on était en caractéristique différente de $2$.

aurelpage · June 2019

Salut,

Au lieu de le mettre sous forme "de Kummer" $Y^2-\Delta$ comme on ferait en caractéristique différente de $2$, fais un changement de variable pour le mettre sous forme d'Artin-Schreier. La condition "n'est pas un carré" devient alors "n'est pas de la forme $y^2-y$", ce qui est une condition $\mathbb{F}_2$-linéaire, donc souvent facile à vérifier. Je te laisse faire les calculs ;-)

Amicalement,
Aurel

Vincent · June 2019

J'ajouterais à ce que dis Aurelpage qu'il faut distinguer les cas $b \neq 0$ et $b=0$: un changement de variable du type $X \mapsto uX+v$ conservant le fait que $b$ est nul ou pas (Merci le morphisme de Frobenius).

Irréductibilité en caractéristique 2

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