Application linéaire induite et quotients
dans Algèbre
Salut,
Soit $E, F$ des espaces vectoriels, $E'$ un sev de $E$, $F'$ un sev de $F$ et $u\in\mathcal L(E,F)$. Un théorème dit que 1) et 2) sont équivalentes :
1) $u$ induit une application linéaire $\overline{u}\in\mathcal L(E/E',F/F')$
2) $u(E')\subset F'$
Ma question concerne le vocabulaire utilisé dans 1) et son lien avec la notion de quotient. Comment exprime-t-on $\overline{u}$ à partir de $u$ ?
Attention, ce qui suit risque de piquer les yeux : intuitivement, je dirais que si $\alpha\in E/E'$ alors on peut écrire $\alpha=x+E'$ avec $x\in E$ donc je poserais par linéarité $\overline{u}(\alpha)=u(x)+u(E')$ mais je pense que c'est pas du tout rigoureux car je somme des choses qui ne sont pas de même nature (et c'était déjà le cas avec $\alpha=x+E'$).
Désolé si la question semble un peu dénuée de sens.
Soit $E, F$ des espaces vectoriels, $E'$ un sev de $E$, $F'$ un sev de $F$ et $u\in\mathcal L(E,F)$. Un théorème dit que 1) et 2) sont équivalentes :
1) $u$ induit une application linéaire $\overline{u}\in\mathcal L(E/E',F/F')$
2) $u(E')\subset F'$
Ma question concerne le vocabulaire utilisé dans 1) et son lien avec la notion de quotient. Comment exprime-t-on $\overline{u}$ à partir de $u$ ?
Attention, ce qui suit risque de piquer les yeux : intuitivement, je dirais que si $\alpha\in E/E'$ alors on peut écrire $\alpha=x+E'$ avec $x\in E$ donc je poserais par linéarité $\overline{u}(\alpha)=u(x)+u(E')$ mais je pense que c'est pas du tout rigoureux car je somme des choses qui ne sont pas de même nature (et c'était déjà le cas avec $\alpha=x+E'$).
Désolé si la question semble un peu dénuée de sens.
Réponses
-
$x+E'$ a un sens bien dèfini, même si tu sommes des choses “qui ne sont pas de même nature“ (c'est quoi la “nature“ ?). N'oublie pas qu'à l'arrivée tu quotientes par $F'$, donc c'est plutôt $\overline u (\alpha) = u(x) + F'$.
La condition $u(E') \subset F'$ permet de dire que c'est bien défini et ne dépend pas du représentant $x$ choisi. -
Merci oui c'est cohérent. Maintenant, venons-en à la preuve de 1) $\implies$ 2). J'aimerais utiliser le théorème de factorisation des applications linéaires pour le montrer mais je ne vois pas comment.
-
Est-ce que tu peux énoncer ledit théorème ?
-
Soit $f:E\rightarrow F$ et $g:E\rightarrow G$ linéaires. Alors (i) $\iff$ (ii) avec :
(i) $\ker(f)\subset\ker(g)$
(ii) il existe $h:F\rightarrow G$ linéaire telle que $g=h\circ f$.
Il y a aussi une version similaire avec les images mais je crois que ce n'est pas celle-ci qui sert ici. -
Je crois qu'il y a un sujet d'agreg qui le fait assez bien... mais en introduisant une métrique, où il y a un inf:
exemple du produit scalaire : projection sur un sous espace F de E où la projection est définie par un infimum...
oui c'est fumeux... -
ah ok tu parlais de cette version. Est-ce que tu peux l'appliquer pour prouver :
Soit $f:E\to F$ une application linéaire qui est nulle sur $E'\subset E$. Alors elle se factorise de manière unique par la projection canonique $E\to E/E'$
A noter que cet énoncé-ci est plus général que celui que tu donnes, au sens où il est vrai pour les groupes abéliens, les modules etc. Tu peux donc le prouver sans utiliser ton énoncé; mais puisque tu l'as autant le faire.
(je viens de me rendre compte que tu cherches à prouver 1) => 2) et que le plan que je te propose est pour 2) => 1). 1) => 2) devrait être plus simple quand même) -
Au temps pour moi, c'est 2) $\implies$ 1) que je souhaite montrer, l'autre inclusion est triviale.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres