Application linéaire induite et quotients
dans Algèbre
Salut,
Soit $E, F$ des espaces vectoriels, $E'$ un sev de $E$, $F'$ un sev de $F$ et $u\in\mathcal L(E,F)$. Un théorème dit que 1) et 2) sont équivalentes :
1) $u$ induit une application linéaire $\overline{u}\in\mathcal L(E/E',F/F')$
2) $u(E')\subset F'$
Ma question concerne le vocabulaire utilisé dans 1) et son lien avec la notion de quotient. Comment exprime-t-on $\overline{u}$ à partir de $u$ ?
Attention, ce qui suit risque de piquer les yeux : intuitivement, je dirais que si $\alpha\in E/E'$ alors on peut écrire $\alpha=x+E'$ avec $x\in E$ donc je poserais par linéarité $\overline{u}(\alpha)=u(x)+u(E')$ mais je pense que c'est pas du tout rigoureux car je somme des choses qui ne sont pas de même nature (et c'était déjà le cas avec $\alpha=x+E'$).
Désolé si la question semble un peu dénuée de sens.
Soit $E, F$ des espaces vectoriels, $E'$ un sev de $E$, $F'$ un sev de $F$ et $u\in\mathcal L(E,F)$. Un théorème dit que 1) et 2) sont équivalentes :
1) $u$ induit une application linéaire $\overline{u}\in\mathcal L(E/E',F/F')$
2) $u(E')\subset F'$
Ma question concerne le vocabulaire utilisé dans 1) et son lien avec la notion de quotient. Comment exprime-t-on $\overline{u}$ à partir de $u$ ?
Attention, ce qui suit risque de piquer les yeux : intuitivement, je dirais que si $\alpha\in E/E'$ alors on peut écrire $\alpha=x+E'$ avec $x\in E$ donc je poserais par linéarité $\overline{u}(\alpha)=u(x)+u(E')$ mais je pense que c'est pas du tout rigoureux car je somme des choses qui ne sont pas de même nature (et c'était déjà le cas avec $\alpha=x+E'$).
Désolé si la question semble un peu dénuée de sens.
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Réponses
La condition $u(E') \subset F'$ permet de dire que c'est bien défini et ne dépend pas du représentant $x$ choisi.
(i) $\ker(f)\subset\ker(g)$
(ii) il existe $h:F\rightarrow G$ linéaire telle que $g=h\circ f$.
Il y a aussi une version similaire avec les images mais je crois que ce n'est pas celle-ci qui sert ici.
exemple du produit scalaire : projection sur un sous espace F de E où la projection est définie par un infimum...
oui c'est fumeux...
Soit $f:E\to F$ une application linéaire qui est nulle sur $E'\subset E$. Alors elle se factorise de manière unique par la projection canonique $E\to E/E'$
A noter que cet énoncé-ci est plus général que celui que tu donnes, au sens où il est vrai pour les groupes abéliens, les modules etc. Tu peux donc le prouver sans utiliser ton énoncé; mais puisque tu l'as autant le faire.
(je viens de me rendre compte que tu cherches à prouver 1) => 2) et que le plan que je te propose est pour 2) => 1). 1) => 2) devrait être plus simple quand même)