Cohomologie motivique
dans Algèbre
Bonjour à tous,
Soient $ X $ définie sur $ \mathbb{C} $, et $ a_X \ : \ X \to \mathrm{Spec} ( \mathbb{C} ) $ son morphisme structural.
- Pourquoi :
$$ H^p ( X ( \mathbb{C} ) , \mathbb{Q} ) = \mathrm{Hom}_{ D^b ( \mathrm{pt} ) } ( \mathbb{Q} , (a_X)_* \mathbb{Q}_X [p] ) = \mathrm{Hom}_{ D^b ( \mathbb{Q}_X ) } ( \mathbb{Q}_X , \mathbb{Q}_X [p] ) $$
- Pourquoi aussi, the Griffiths intermediate Jacobian $ J(X) $ est donné par :
$$ J(X) = \mathrm{Ext}_{MHS}^1 ( \mathbb{Q} [0] , H^{2k -1} ( X , \mathbb{Q} (r) ) ) $$
- ... et comment calcule -t-on concrètement : $ \mathrm{Hom}_{ D^b ( \mathbb{Q}_X ) } ( \mathbb{Q}_X , \mathbb{Q}_X [p] ) $ et $ \mathrm{Ext}_{MHS}^1 ( \mathbb{Q} [0] , H^{2k -1} ( X , \mathbb{Q} (r) ) ) $ ?
Merci d'avance.
Soient $ X $ définie sur $ \mathbb{C} $, et $ a_X \ : \ X \to \mathrm{Spec} ( \mathbb{C} ) $ son morphisme structural.
- Pourquoi :
$$ H^p ( X ( \mathbb{C} ) , \mathbb{Q} ) = \mathrm{Hom}_{ D^b ( \mathrm{pt} ) } ( \mathbb{Q} , (a_X)_* \mathbb{Q}_X [p] ) = \mathrm{Hom}_{ D^b ( \mathbb{Q}_X ) } ( \mathbb{Q}_X , \mathbb{Q}_X [p] ) $$
- Pourquoi aussi, the Griffiths intermediate Jacobian $ J(X) $ est donné par :
$$ J(X) = \mathrm{Ext}_{MHS}^1 ( \mathbb{Q} [0] , H^{2k -1} ( X , \mathbb{Q} (r) ) ) $$
- ... et comment calcule -t-on concrètement : $ \mathrm{Hom}_{ D^b ( \mathbb{Q}_X ) } ( \mathbb{Q}_X , \mathbb{Q}_X [p] ) $ et $ \mathrm{Ext}_{MHS}^1 ( \mathbb{Q} [0] , H^{2k -1} ( X , \mathbb{Q} (r) ) ) $ ?
Merci d'avance.
Réponses
-
Bonjour à tous,
J'aimerais avoir un exemple de calcul de la cohomologie motivique non pas en ayant recours aux foncteurs dérivées ( $ \mathrm{Ext} $ par exemple ), mais en suivant les méthodes simples traditionnelles que vous connaissez pour les cohomologies d'objets sans structures comme la cohomologie de Cech que nous retrouvons en Hodge theory par exemple ( C'est à dire en dérivant le foncteur des sections globales tout simplement ). C'est à dire en prenant une suite de résolutions de sheaves et en calculant l'hypercohomologie tout simplement. Pouvez vous me le faire ? Je n'ai jamais fait ça de ma vie.
Merci d'avance. -
"non pas en ayant recours aux foncteurs dérivées"
"c'est à dire en dérivant le foncteur des sections globales tout simplement "
:)o
Pour quand même dire quelque chose :
1 tu peux calculer $a_X^*\Bbb Q$ et remarquer un truc ... Puis tu peux aussi utiliser ta construction préférée en théorie des catégories ;-)
2 Je sais pas je connais pas très bien les structures de Hodge mixtes.
3 Comme d'habitude ça dépends de comment tu t'es donné $X$. -
Je n'ai pas compris :
A quoi bon de calculer : $ (a_X)^* \mathbb{Q} = \mathbb{Q}_X $ Lupulus ?
edit : Ah oui, ma construction préférée, c'est à dire la notion d'adjonction, non ?
Donc :
$ \mathrm{Hom} ( \mathbb{Q} , (a_X)_* \mathbb{Q}_X [p] ) = \mathrm{Hom} ( (a_X)^* \mathbb{Q} , \mathbb{Q}_X [p] ) = \mathrm{Hom} ( \mathbb{Q}_X , \mathbb{Q}_X [p] ) $.
Non ?
edit : $ X $ est une $ \mathbb{C} $ - variété arbitraire ( i.e : reduced and separated scheme of finite type over $ \mathbb{C} $ ) -
Mais pourquoi : $ H^p ( X ( \mathbb{C} ) , \mathbb{Q} ) = \mathrm{Hom} ( \mathbb{Q} , ( a_X )_* \mathbb{Q}_X [p] ) $ ?
-
C'est évident mais sais tout d'abord définir $(a_X)_*\Bbb Q_X[p]$ correctement ?
-
D'après mon cours : $ f_* = \Gamma $ si $ f : X \to \mathrm{pt} $.
Donc : $ (a_X)_* \mathbb{Q}_X [p] = R^p \Gamma ( X , ( a_X )_* \mathbb{Q}_X ) = R^p \Gamma ( X , \mathbb{Q} ) = H^p ( X , \mathbb{Q} ) $. Non ? -
Non.
-
Où se trouve l'erreur Lupulus ?
-
Je ne suis pas très habitué aux six opérations de Grothendieck pour calculer facilement $ (a_X)_* \mathbb{Q}_X [p] $ Lupulus. Tu peux me la calculer Lupulus ?
Merci. -
D'après mon cours : $ f_* = \Gamma $ si $ f : X \to \mathrm{pt} $.
Donc : $ (a_X)_* \mathbb{Q}_X [p] = R^p \Gamma ( \mathrm{pt} , \mathbb{Q} ) = R^p \Gamma ( \mathrm{pt} , ( a_X )_* \mathbb{Q}_X ) = \mathbb{Q} ) = R^p \Gamma ( ( a_X )^* \mathrm{pt} , \mathbb{Q}_X ) = R^p \Gamma ( X , \mathbb{Q}_X ) = H^p ( X , \mathbb{Q}_X ) $. Non ? -
$ (a_X)_* \mathbb{Q}_X [p] = \Gamma ( X ,\mathbb{Q}_X ) [p] = R^p \Gamma ( X ,\mathbb{Q}_X ) = H^p ( X , \mathbb{Q}_X ) $
Non ? -
Pour trouver un lien entre : $ H^p ( X , \mathbb{Q}_X ) $ et $ H^p ( X ( \mathbb{C} ) , \mathbb{Q} ) $, on considère le morphisme canonique : $ \varphi \ : \ X ( \mathbb{C} ) \to X $ telle que son image est l'ensemble des points fermée de $ X $.
Alors : $ H^p ( X , \mathbb{Q}_X ) = H^p ( X , \varphi_* \mathbb{Q} ) = H^p ( \varphi^{-1} (X) , \mathbb{Q} ) = H^p ( X ( \mathbb{C} ) , \mathbb{Q} ) $. Non ? -
Pardon, je reprends :
$ (a_X )_* \mathbb{Q}_X [p] = R^p ( a_X )_* \mathbb{Q}_X = \mathcal{H}^p ( \bullet , (a_X) _* \mathbb{Q}_X ) = \mathcal{H}^p ( \bullet , \mathbb{Q} ) $
et donc, $ H^p ( X ( \mathbb{C} ) , \mathbb{Q} ) = \Gamma ( X , \mathcal{H}^p ( \bullet , \mathbb{Q} ) ) = \mathrm{Hom} ( \mathbb{Q} , \mathcal{H}^p ( \bullet , \mathbb{Q} ) ) = \mathrm{Hom} ( \mathbb{Q} , (a_X )_* \mathbb{Q}_X [p] ) $
Non ?
$ \mathcal{H}^p ( \bullet , \mathbb{Q} ) $ est le faisceau associé au préfaisceau de cohomologie, tel que : $ \Gamma ( X , \mathcal{H}^p ( \bullet , \mathbb{Q} ) ) = H^p ( X , \mathbb{Q} ) $
Non ?
Je suis perdu. Aidez moi s'il vous plaît. -
Lupulus. Où es tu ?
-
Il faut revoir les définitions.
-
Oui, mais dis moi comment corriger ce que j'ai écrit Lupulus. Ce ne sont que des définitions ce que j'ai utilisé.
-
Voici un autre essai :
$ \mathrm{Hom}_{ D^b ( \mathrm{pt} ) } ( \mathbb{Q} , (a_X)_* \mathbb{Q}_X [p] ) = \mathrm{Ext}_{ \mathrm{pt} }^p ( \mathbb{Q} , (a_X)_* \mathbb{Q}_X ) $
$ = R^p \mathrm{Hom}_{ \mathrm{pt} } ( \mathbb{Q} , (a_X)_* \mathbb{Q}_X ) = R^p \Gamma ( \mathrm{pt} , (a_X)_* \mathbb{Q}_X ) $
$ = R^p \Gamma ( (a_X )^* ( \mathrm{pt} ) , \mathbb{Q}_X ) = R^p \Gamma ( X , \mathbb{Q}_X ) = H^p ( X , \mathbb{Q}_X ) $.
Non ? -
Peut tu définir $(a_X)_*$ dans ton premier message ?
-
$ (a_X )_* = \Gamma $. Non ?
-
Non.
-
$ (a_X )_* \mathcal{F} (U) = \mathcal{F} ( (a_X)^{-1} ( U ) ) = \mathcal{F} ( (a_X)^{-1} ( \mathrm{pt} ) ) ) = \mathcal{F} (X) = \Gamma ( X , \mathcal{F} ) $
??? -
Le foncteur qui va dans ton dernier message, il va de quelle catégorie dans quelle catégorie ?
-
$ (a_X )_* \ : \ \mathrm{Sh} ( X ) \to \mathrm{Sh} ( \mathrm{pt} ) = \mathrm{Ens} $
Non ?
Il me semble que $ \mathrm{Sh} ( \mathrm{pt} ) $ est la catégorie des tiges. Non ?
Mais si $ \mathrm{Sh} ( \mathrm{pt} ) $ était une catégorie des tiges, alors $ a_X : X \to \mathrm{pt} $ aurait été l'inclusion $ a_X : \mathrm{pt} \to X $. Mais, je ne sais pas. -
On a surtout pas $\text{Sh}(pt) = Ens$ mais $\mathbb{Q}-\text{Vect}$ (par exemple).
Bon maintenant tu as tout ce qu'il te faut pour réfléchir. Si ce n'est pas clair, relis ton cours calmement.
Au passage cette histoire de catégorie de tige ne veut rien dire. -
Donc, $ (a_X )_* = \Gamma $. Non ?
-
Encore une fois, dans le cadre de ton premier message NON.
La réponse correcte est qu'il faut dériver le foncteur. C'est donc $R{a_X}_*$ qu'il faut considérer si tu veux utiliser l'adjonction dans les catégories dérivées. Presque tout le monde le note ${a_X}_*$ pour ne pas alourdir la notation.
Dans le cadre non dérivé, effectivement ${a_X}_* = \Gamma$. -
Ah d'accord. Oui, tu as raison. :-)
J'oublie toujours qu'on est dans le cadre d'une catégorie dérivée.
Alors, je vais essayer. Attend un peu. -
"J'oublie toujours qu'on est dans le cadre d'une catégorie dérivée." : tu as toi même posé une question à propos de morphisme dans la catégorie dérivée !!
-
Lupulus a écrit:Bon maintenant tu as tout ce qu'il te faut pour réfléchir. Si ce n'est pas clair, relis ton cours calmement.
Le problème est que je n'ai pas de cours à ma disposition pour pouvoir résoudre l'exercice.
Voici où j'avais appris sur les derived direct images : http://therisingsea.org/notes/DerivedCategoriesOfSheaves.pdf , page : $ 8 $.
Mais, il est vague dans son contenu, il ne suffit pas pour répondre à cet exercice.
En as tu un autre accessible en niveau pour le commun des mortels ?.
A propos de l'adjonction dont tu fais mention dans tes messages précédents, on parle de triadjonction dans le cadre des catégories dérivées, et non d'adjonction. :-) -
Le commun des mortels n'étudie pas les catégories dérivées. Il faut travailler dur pour comprendre ce sujet, et aussi avoir les capacités nécessaires. Bien entendu il faut aussi avoir tous les prérequis nécessaires.
Ceci dit tu peux regarder Huybrechts, the Fourier-Mukai transform in algebraic geometry. -
Non, j'ai déjà appris les bases théoriques des catégories triangulées, et des catégories dérivées. Sauf que le problème se situe dans l'application. Jamais dans un cours, on ne te donnera la méthode de calcul par exemple de $ R (a_X )_* $ dans une catégorie dérivée dans le cas lorsque : $ a_X : X \to \mathrm{pt} $. Peux être que j'aurai quelques éléments de réponses dans les cours dédiés aux $ \mathcal{D} $ - modules, mais jamais dans un cours sur les catégories triangulés ou dérivées. Dommage.
-
Tu rigole ? Personne ne dit explicitement comment faire ça car c'est une trivialité. Si tu connaissais un minimum les catégories dérivées des faisceaux comme tu le prétends, la réponse serait immédiate.
-
Lupulus :
Le livre que tu m'indiques ( celui du Japonais : Mukai ) ne traite aucune partie sur le derived direct image. J'avais déjà survolé rapidement ce cours, mais il ne me sert à rien. Comme je t'ai déjà dit. J'ai déjà une bonne base en théorie des catégories triangulés et catégories dérivées. -
Lupulus a écrit:Personne ne dit explicitement comment faire ça car c'est une trivialité.
Non. Même si c'est une trivialité pour toi, ce n'est pas le cas pour la plupart de ceux qui ont appris ce cours. Tu exagères. -
C'est quand même incroyable que tu n'arrives pas à lire des messages, même non mathématique. Je ne t'indique pas le livre de Mukai mais le livre de Huybrechts sur la transformée de Fourier-Mukai.
Il est évident que tu n'a aucune base en catégorie dérivée sinon tu aurais résolu ton problème depuis longtemps. -
Tu aurais une reference ou on expose le calcul de 13+22? Je connais tres bien la theorie de l’addition mais je ne trouve aucun livre ou on fait ce calcul.
-
Oui, je l'ai déjà lu. Le voici en pdf : http://algant.eu/documents/theses/kelly.pdf
-
NoName, c'est fait ici : http://www.math.uchicago.edu/~mitya/langlands/hitchin/BD-hitchin.pdf
Malheureusement les méthodes développées n'ont pas permis le calcul de 14 + 21 mais je crois que Gaitsgory développe en ce moment une nouvelle théorie pour étudier le problème ... -
C’est parce que $O(13)\otimes O(22) \simeq O(35)$ et que $Pic(\mathbb P^1) \simeq \mathbb Z$ on en deduit $13+22=35$, non?
-
Lupulus a écrit:Il est évident que tu n'a aucune base en catégorie dérivée sinon tu aurais résolu ton problème depuis longtemps.
Alors, calcule le moi. Je ne vais pas ergoter avec toi sur ce que je sais et sur ce que je ne sais pas.
Si je te dis que je connais les catégories dérivées, ce n'est pas pour attiser ta jalousie mais pour te rassurer que tu n'auras pas à faire beaucoup d'effort pour m'expliquer la résolution de cet exercice. -
Noname a écrit:C’est parce que $O(13)\otimes O(22) \simeq O(35)$ et que $Pic(\mathbb P^1) \simeq \mathbb Z$ on en deduit $13+22=35$, non?
ça m'a fait rigoler ça. :-D
Tu as un esprit espiègle Noname. :-) -
NoName : hum comment est ce que tu montre que $O(13) \otimes O(22) \cong O(35)$ ? J'ai essayé d'utiliser le théorème de Grothendieck sur la classification des fibrés en droites sur $\Bbb P^1$ mais je n'y suis pas arrivé. Il y a peut-être la fameuse correspondence entre fibrés en droites et diviseurs qui peut-être utile, non ? Je suis très à l'aise sur l'aspect théorique de cette correspondance, mais en pratique je suis totalement perdu.
Pablo : Je vais te rendre un service, et te laisser te débrouiller. Si tu trouve ça trop dur il est toujours temps d'étudier d'autre sujets. -
Lupulus a écrit:Pablo : Je vais te rendre un service, et te laisser te débrouiller. Si tu trouve ça trop dur il est toujours temps d'étudier d'autre sujets.
Au contraire. Je suis en phase final pour finir la cohomologie motivique. Il ne reste que quelques retouches pour tourner cette page, et il n'y'a pas grande différence entre les opérations de Grothendieck dans le cas classique, et dans le cas des catégories dérivées. et je suis sûr que je vais les comprendre si me l'explique pour le cas $ a_X : X \to \mathrm{pt} $. Mais tu ne veux pas, tu es jaloux. Je te connais bien et la plupart ici.. -
Bah oui Lupulus, tu es jaloux.se, ça se voit ! Franchement, tu ne veux même pas expliquer à Pablo le cas trivial d'une construction qu'il dit maîtriser - comment oses-tu ? Le laisser découvrir des choses seul et progresser ? ::o et en plus l'audace de lui proposer des références qu'il n'a pas lues...
-
@Maxtimax : tu as raison, j'ai laissé la jalousie s'emparer de moi. Je vais retourner à la raison maintenant. En réalité, ça fait deux ans que j'essaye de comprendre certains résultats sur les catégories dérivées, et voir progresser aussi rapidement Pablo m'a laissé un sentiment amère. Mais tu as raison, on devrait tous s'entraider en harmonie sans jalousie ni sentiments négatifs :-) :-) :-)
Voici donc la solution : soit $I^{\bullet}$ une résolution injective de $\Bbb Q_X$. Alors par définition $R{a_X}_*(\Bbb Q_X) = \Gamma(I^{\bullet})$. Il s'ensuit donc que $Hom_{D^b(pt)}(\Bbb Q,R{a_X}_*\Bbb Q_X[p] ) = Hom_{D^b(pt)}(\Bbb Q, \Gamma(I^{\bullet})[p])$. Par définition c'est le $p$-ième groupe d'homologie du complexe $\Gamma(I^{\bullet})$, c'est à dire $H^p(X, \Bbb Q)$.
Bravo encore à toi Pablo pour ton parcours et pardon d'avoir douté de tes capacités :-) -
Voilà. Maintenant tu es un homme bien. :-)
Merci. ( et Merci aussi pour ta franchise :-) )
Je suis heureux d'avoir un ami comme toi Lupulus. ;-) -
Lupulus :
Si ce n'est pas dérangeant. Il faut obtenir $ H^p ( X ( \mathbb{C} ) , \mathbb{Q} ) $ et non que $ H^p ( X , \mathbb{Q} ) $. Sais tu remédier à ce problème ?
Merci. -
Aïe !!
Tu as raison, toute la démonstration que j'ai écrite est fausse. Je ne sais pas comment la rattraper. Il faut attendre qu'un expert passe par ici je crois :-( -
D'accord. Merci. :-)
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