Cohomologie des faisceaux

Pour $ \mathrm{Ext}_{ \mathrm{Faisc} (X) }^n ( \mathbb{Z} , \mathcal{F} ) $, je sais que le foncteur qui se dérive est le foncteur : $ \mathrm{Hom} ( - , \mathcal{F} ) $
Pour $ H^n ( X , \mathcal{F} ) $, je sais que le foncteur qui se dérive est le foncteur des sections globales : $ \Gamma (X , - ) $.
Pourquoi ces deux foncteurs sont isomorphes ?

Pourquoi $ H^k ( \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} , \mathbb{F}_2 ) = \mathbb{F}_2 e_1^k $ avec : $ e_1^k = e_1 \dots e_1 $ la classe du cocycle : $ ( x_1 , \dots , x_k ) \to x_1 \dots x_k $ ?

Maxtimax a écrit:

Prouve qu'il s'agit bien d'une résolution libre.

C'est une résolution libre parce que, c'est une suite exacte de $ \mathbb{F}_2 [C] $ - modules libres.
C'est une suite exacte parce que d'un coté : $ d_1 \circ d_2 = d_2 \circ d_1 = 0 $ et on n'a $ \ker d_2 \subset \mathrm{Im} d_1 $ et $ \mathrm{ker} d_1 \subset \mathrm{Im} d_1 $.
et il est claire que les $ \mathbb{F}_2 [C] $ sont libres. Non ?

Maxtimax a écrit:

Déduis-en déjà le résultat suivant : $H^k(C_2,\mathbb{F}_2)\simeq \mathbb{F}_2$

On a : $H^k(C_2,\mathbb{F}_2)\simeq H^k ( \mathrm{Hom}^{ \bullet } ( \mathbb{F}_2 [ C ] , \mathbb{F}_2 )) = \mathbb{F}_2 $. Non ?
On est passé de la résolution : $\mathbb{F}_2[C_2]$ : $\dots\to \mathbb{F}_2[C_2] \overset{d_1}{\to} \mathbb{F}_2[C_2]\overset{d_2}{\to} \mathbb{F}_2[C_2]\overset{d_1}{\to} \mathbb{F}_2[C_2]\overset{\varepsilon }{\to} \mathbb{F}_2$ à son image : $\mathrm{Hom} ( \mathbb{F}_2 [ C ] , \mathbb{F}_2 ) $ : $\dots\to \mathrm{Hom} ( \mathbb{F}_2 [ C ] , \mathbb{F}_2 ) \overset{d_1}{\leftarrow} \mathrm{Hom} ( \mathbb{F}_2 [ C ] , \mathbb{F}_2 ) \overset{d_2}{\leftarrow} \mathrm{Hom} ( \mathbb{F}_2 [ C ] , \mathbb{F}_2 )\overset{d_1}{\leftarrow} \mathrm{Hom} ( \mathbb{F}_2 [ C ] , \mathbb{F}_2 )\overset{\varepsilon }{\leftarrow} \mathrm{Hom} ( \mathbb{F}_2 , \mathbb{F}_2) $ par le foncteur $ \mathrm{Hom} ( - , \mathbb{F}_2 ) $. Non ?.

Oui, mais ce que je voulais savoir c'est le principe du raisonnement que tu m'as expliqué. ça n'était pas encore claire pour moi. Mais maintenant, ça va. Merci en tous cas.
Je n'ai pas envie de me plonger dans un calcul stérile. Je n'ai pas le temps. J'ai un peu la flemme. :-)

Bonsoir,

Pourquoi, au lieu de $ \Gamma ( X , \mathcal{F} ) = \mathrm{Hom}_{ \mathrm{Faisc} } ( \mathbb{Z} , \mathcal{F} ) $, on n'a pas : $ \Gamma ( X , \mathcal{F} ) = \mathrm{Hom}_{ \mathrm{Faisc} } ( \mathbb{Q} , \mathcal{F} ) $ ? Quelle est la différence ?

Merci d'avance.

Maxtimax a écrit:

(Tu peux maintenant réfléchir à pourquoi ça compte, en jetant un oeil à des exemples)

On a : $ \Gamma ( X , \mathbb{Z} ) = \mathrm{Hom}_{ \mathrm{Faisc} (X) } ( \mathbb{Z} , \mathbb{Z} ) = \mathbb{Z} $
Donc : $ \mathbb{Z} (X) = \mathbb{Z} $ ?
C'est un peu confus pour moi tout ça. Ici par exemple : http://therisingsea.org/notes/DerivedCategoriesOfSheaves.pdf , page : $ 4 $, on dit que : $ \Gamma ( X , \mathcal{F} ) = \mathrm{Hom}_{ \mathcal{O}_{X} } ( \mathcal{O}_X , \mathcal{F} ) $. Quelle est la différence avec le fait que : $ \Gamma ( X , \mathcal{F} ) = \mathrm{Hom}_{ \mathrm{Faisc} (X) } ( \mathbb{Z} , \mathcal{F} ) $ ?

Maxtimax a écrit:

Oui bah ce n'est pas le même contexte : là tu as des faisceaux en $O_X$-modules. C'est la même chose que : $\hom_{Ab}(\mathbb Z, A) = A$ et $\hom_{R-Mod}(R, A) = A$ si $A$ est un $R$-module ($R$ anneau commutatif unitaire)

D'accord. Alors, si je comprends bien :
- $ \Gamma ( X , \mathcal{F} ) = \mathrm{Hom}_{ \mathrm{Faisc} (X) } ( \mathbb{Z} , \mathcal{F} ) $ si $ \mathcal{F} $ appartient à la catégorie des faisceaux sur $ X $ à valeurs dans la catégorie des $ \mathbb{Z} $ - modules, c'est à dire, si $ \mathcal{F} $ appartient à la catégorie des faisceaux sur $ X $ à valeurs dans la catégorie des groupes.
- $ \Gamma ( X , \mathcal{F} ) = \mathrm{Hom}_{ \mathrm{Faisc} (X) } ( \mathbb{Q} , \mathcal{F} ) $ si $ \mathcal{F} $ appartient à la catégorie des faisceaux sur $ X $ à valeurs dans la catégorie des $ \mathbb{Q} $ - modules, c'est à dire, si $ \mathcal{F} $ appartient à la catégorie des faisceaux sur $ X $ à valeurs dans la catégorie des $ \mathbb{Q} $ - espaces vectoriels. Non ?
- $ \Gamma ( X , \mathcal{F} ) = \mathrm{Hom}_{ \mathcal{O}_{X} } ( \mathcal{O}_{X} , \mathcal{F} ) $ si $ \mathcal{F} $ appartient à la catégorie des faisceaux sur $ X $ à valeurs dans la catégorie des $ \mathcal{O}_{X} ( U ) $ - modules.
Non ?