Valeur critique de polynôme de $\C[X]$

MiKiDe
MiKiDe
dans Algèbre
Bonjour
Voici l'énoncé suivant tiré de la RMS algèbre.

Soit $P$ un polynôme complexe non constant. On dit que $z$ est une valeur critique de $P$ s'l existe $x\in \mathbb C$ tel quel $P(x) = z; ~P'(x) = 0$.
La question est alors : on suppose que $[a;b]$ ne contient aucune valeur de critique de $P$.
Que peut-on dire de $P^{-1}([a;b])$ ?

Cette question est très ouverte, mais je suppose qu'il y a une propriété remarquable.
Déjà, $\forall x \in P^{-1}([a;b]),~ P'(x) \neq 0$. Ensuite, $P^{-1}([a;b])$ est forcément fermé par continuité de $P$.
Mais sinon, je subodore quelque chose du style "$P^{-1}([a;b])$ est une réunion d'intervalles".
Mais je ne vois pas trop sinon...
Pourriez-vous m'apporter un peu d'aide ?
Je vous remercie par avance !

Réponses

  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Bonjour,

    Sauf erreur de ma part, il me semble que pour définir l'inverse ( local ) $ P^{-1} $ d'un polynôme $ P $, il faut impérativement que : $ [a,b] $ ne contient aucune valeur critique de $ P $. Non ?
    S'il existe une valeur critique pour $ P $ dans $ [a,b] $, alors : $ P^{-1} $ n'existe pas et : $ P^{-1} ( [a,b] ) $, non plus. Non ? l'inverse ici est l'image réciproque par bijectivité de $ P $. Non ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Je ne sais pas trop, mais, on peut faire une remarque qui est que ça touche la plupart des intervalles :
    Disons que $P$ est de degré $n$, alors $P'$ est de degré $n-1$, donc a $n-1$ racines, $x_1,...,x_{n-1}$
    $P$ a donc au plus $n-1$ points critiques, les $P(x_1),...,P(x_{n-1})$. Donc la plupart des intervalles $[a,b]$ (tous ceux qui ne contiennent aucun de ces au plus $n-1$ points) vérifient l'hypothèse.

    Mon "expérience" en géométrie différentielle (qui n'est donc pas acceptable pour la RMS, puisque c'est niveau prépa) me dit que s'il n'y a aucun point critique, alors $P^{-1}([a,b])$ va être une sous-variété à bords de $\C$ de dimension $1$, donc quelque chose d'homéomorphe à un segment ou un cercle (je crois) : c'est peut-être ça qu'on cherche à te faire dire, mais je ne sais pas trop comment le faire avec des outils de type prépa.

    Peut-être peut-on essayer de démontrer élémentairement déjà que c'est localement homéomorphe à un intervalle ?

    Pablo, $P^{-1}$ désigne ici clairement l'image réciproque, il n'y a donc aucune hypothèse à mettre sur $P$.
  • Lupulus
    Lupulus
    C'est l'union d'exactement $\deg(P)$ intervalles. Pour le voir il faut sans doute utiliser un truc du style fonction implicite. C'est faux en général, par exemple prendre $[0,1]$ et $P(x) = x^2$ dont la préimage est $[-1,1]$.
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Attention, par exemple en théorie de la fibre de Milnor, si ton $ z \in [a,b] $ est une valeur critique de $ P $, alors, $ P $ localement, autour de $ z $ est une fibration, et donc, $ P^{-1} ( U \cap [a,b] \backslash \{ z \} ) $ est une réunion d'ouverts de : $ P^{-1} ( [a,b] \backslash \{ z \} ) $ si $ U $ est un ouvert de $ [a,b] \backslash \{ z \} $ .
  • callipiger
    callipiger
    Bonjour,
    on peut au moins dire que c'est connexe, et je pense même homéomorphe à un segment
    puisqu'il n'y a pas d'éclatement...
    on peut appliquer le théorème d'inversion locale en une famille quelconque d'ouverts qui recouvrent [a;b]
    et même mieux que ça : une bijection, qui se prolonge localement par connexité.
    mon raisonnement est juste ?
    *merci
  • callipiger
    callipiger
    je pense que mon raisonnement à quelques soucis au final... il faudrait travailler encore un [peu,] peut-être utiliser le théorème de Heine pour pouvoir revenir en arrière et passer d'une injectivité locale à une injectivité globale
  • reuns
    reuns
    Les valeurs critiques de $P$ c'est l'image par $P$ des zéros de $P'$.

    Soit $[a,b]$ sans valeur critique.

    Si $P(x)-a$ a une racine double $r$ alors $P'(r) = 0$ et $P(r) = a$ serait une valeur critique.

    Donc il existe $\deg(P)$ points distincts $x_j$ tels que $P(x_j)=a$. Comme $P$ est localement surjective, pour chaque $j$, il existe une courbe $C_j(t), t \in [a,b], C_j(a) = x_j$ telle que $P(C_j(t)) = t$.

    Comme $P'$ ne s'annule pas sur $C_j$ on a que $P$ est localement bijective donc $C_j$ est $C^\infty$ et entièrement définie par $C_j(a) = x_j$. Donc il existe exactement $\deg(P)$ courbes $C(t), t \in [a,b]$ telles que $P(C(t)) = t$.

    Une $C_j$ ne s'intersecte pas elle-même puisque si $C_j$ était une courbe fermée alors $P(C_j)$ serait une courbe fermée.

    Pour n'importe quel $t\in [a,b]$ fixé on a aussi que $C_j$ est déterminée par $C_j(t)$.

    Donc ces $\deg(P)$ courbes $C_j$ ne s'intersectent pas les unes les autres puisque sinon on aurait pour un $i,j,t,u$, $C_j(t) = C_i(u)$ donc $t =P(C_j(t)) = P(C_i(u)) = u$ donc $C_i(t) = C_j(t)$ et donc $C_j = C_i$.
  • MiKiDe
    MiKiDe
    reuns
    Super démo quasiment au programme de classe prépa ! Merci !

    J'aurais besoin cependant de précisions.
    - L'existence de la courbe peut-elle se faire avec des arguments de connexité par arcs par exemple ? Ou de topologie des espaces vectoriels normés ?
    - Comment bien définir ces courbes ?
    - Pourquoi ne serait-elles pas fermées ? Je ne comprends pas non plus l'histoire d'intersection par elle même...

    ?[Inutile de recopier le dernier message. AD]
  • Lupulus
    Lupulus
    Reuns : il est faux que l'image d'une courbe non fermée par une application continue est fermée, il faut utiliser un autre argument je pense.
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Lupulus :
    ''fermé'' dans le sens que c'est un lacet duquel il s'agit, et non pas dans le sens de fermeture topologique ( i.e : égale à son adhérence ). Non ?
  • reuns
    reuns
    Commence par dire que $P$ est localement bijective pour définir $C_j$.

    et je dis juste que si $C_j(t_1) = C_j(t_2)$ alors $t_1=P(C_j(t_1)) = P(C_j(t_2)) = t_2.$

    Je n'ai rien utilisé de topologique, si $C_j$ est une courbe fermée (un lacet...) alors son image est une courbe fermée (ce qui n'est pas le cas puisque son image est la courbe $[a,b]$. La courbe $[a,b]$ c'est différent de l'ensemble $[a,b]$)
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